Меню Главная Случайная статья Настройки Десятичный логарифм Материал из https://ru.wikipedia.org Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Другими словами, десятичный логарифм числа ${\displaystyle b}$ есть решение уравнения ${\displaystyle 10^{x}=b.}$ Вещественный десятичный логарифм числа ${\displaystyle b}$ существует, если ${\displaystyle b>0}$ (комплексный десятичный логарифм существует для всех ${\displaystyle b\neq 0}$). Международный стандарт ISO 31-11 обозначает его ${\displaystyle \lg \,b}$. Примеры: ${\displaystyle \lg \,1=0;\,\lg \,10=1;\,\lg \,100=2}$ ${\displaystyle \lg \,1000000=6;\,\lg \,0{,}1=-1;\,\lg \,0{,}001=-3}$ В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: ${\displaystyle \operatorname {log} ,\operatorname {Log} ,\operatorname {Log10} }$, причём следует иметь в виду, что первые 2 варианта могут относиться и к натуральному логарифму. Содержание 1 Алгебраические свойства 2 Функция десятичного логарифма 3 Применение 4 История 5 Литература 6 Ссылки 7 Примечания Алгебраические свойства В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны[1]: Формула Пример Произведение ${\displaystyle \lg(xy)=\lg(x)+\lg(y)}$ ${\displaystyle \lg(10000)=\lg(100\cdot 100)=\lg(100)+\lg(100)=2+2=4}$ Частное от деления ${\displaystyle \lg \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\lg(x)-\lg(y)}$ ${\displaystyle \lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3}$ Степень ${\displaystyle \lg(x^{p})=p\lg(x)}$ ${\displaystyle \lg(10000000)=\lg(10^{7})=7\lg(10)=7}$ Корень ${\displaystyle \lg {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\lg(x)}{p}}}$ ${\displaystyle \lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5}$ Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например: ${\displaystyle \lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),}$ ${\displaystyle \lg \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|),}$ Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей: ${\displaystyle \lg(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\dots +\lg(x_{n})}$ Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел ${\displaystyle x,y}$ с помощью логарифмических таблиц производилось по следующему алгоритму: Найти в таблицах логарифмы чисел ${\displaystyle x,y}$. Сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения ${\displaystyle x\cdot y}$. По логарифму произведения найти в таблицах само произведение. Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично производились возведение в степень и извлечение корня. Связь десятичного и натурального логарифмов[2]: ${\displaystyle \ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x}$ Знак логарифма зависит от логарифмируемого числа: если оно больше 1, логарифм положителен, если оно между 0 и 1, то отрицателен. Пример: ${\displaystyle \lg \,0{,}012=\lg \,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\approx -2+0{,}079181=-1{,}920819}$ Чтобы унифицировать действия с положительными и отрицательными логарифмами, у последних целая часть (характеристика) надчёркивалась сверху: ${\displaystyle \lg \,0{,}012\approx -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181}$ Мантисса логарифма, выбираемая из таблиц, при таком подходе всегда положительна. Функция десятичного логарифма Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию десятичного логарифма: ${\displaystyle y=\lg \,x.}$ Она определена при всех ${\displaystyle x>0.}$ Область значений: ${\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}$. График этой кривой часто называется логарифмикой[3]. Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой: ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\lg \,x={\frac {\lg \,e}{x}}}$ Ось ординат ${\displaystyle (x=0)}$ является вертикальной асимптотой, поскольку: ${\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\lg \,x=-\infty }$ Применение Логарифмы по основанию 10 до изобретения в 1970-е годы компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня. Но десятичные логарифмы обладали преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа ${\displaystyle x}$ (характеристику логарифма) ${\displaystyle [\lg x]}$ легко определить. Если ${\displaystyle x\geqslant 1}$, то ${\displaystyle [\lg x]}$ на 1 меньше числа цифр в целой части числа ${\displaystyle x}$. Например, сразу очевидно, что ${\displaystyle \lg 345}$ находится в промежутке ${\displaystyle (2,3)}$. Если ${\displaystyle 0<x<1}$, то ближайшее к ${\displaystyle \lg x}$ целое в меньшую сторону равно общему числу нулей в ${\displaystyle x}$ перед первой ненулевой цифрой (включая ноль перед запятой), взятому со знаком минус. Например, ${\displaystyle \lg 0{,}0014}$ находится в интервале ${\displaystyle (-3,-2)}$. Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на ${\displaystyle n}$ разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на ${\displaystyle n.}$ Например: ${\displaystyle \lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3}$ Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle 10}$[4]. Такие таблицы, начиная с XVII века, выпускались большим тиражом и служили незаменимым расчётным инструментом учёных и инженеров. Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным[5]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал. Десятичные логарифмы для чисел вида 5 10C Число Логарифм Характеристика Мантисса Запись n lg(n) C M = lg(n) C 5 000 000 6.698 970... 6 0.698 970... 6.698 970... 50 1.698 970... 1 0.698 970... 1.698 970... 5 0.698 970... 0 0.698 970... 0.698 970... 0.5 0.301 029... 1 0.698 970... 1.698 970... 0.000 005 5.301 029... 6 0.698 970... 6.698 970... Обратите внимание, что у всех приведенных в таблице чисел ${\displaystyle n}$ одна и та же мантисса ${\displaystyle M}$, поскольку: ${\displaystyle \lg(n)=\lg \left(x\times 10^{C}\right)=\lg(x)+\lg \left(10^{C}\right)=\lg(x)+C}$, где ${\displaystyle 1<x<10}$ — значащая часть числа ${\displaystyle n}$. История Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже — с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Но в этих и в последующих изданиях таблиц обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1852 году в Берлине (таблицы Бремикера)[6]. В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого[7]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов[8]: Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты. Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений. Литература Теория логарифмов Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6. История логарифмов Ссылки Десятичные (бригсовы) логарифмы. (англ.) Примечания Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187.. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189.. Элементарная математика, 1976, с. 94—100. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 406.. История математики, том II, 1970, с. 62.. Логарифмические таблицы // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.