Меню Главная Случайная статья Настройки Характер (теория чисел) Материал из https://ru.wikipedia.org Характер (или числовой характер, или характер Дирихле), это определённая арифметическая функция, которая возникает из вполне мультипликативных[англ.] характеров на обратимых элементах ${\displaystyle \mathbb {Z} /k\mathbb {Z} }$. Характеры Дирихле используются для определения L-функций Дирихле, которые являются мероморфными функциями со множеством интересных аналитических свойств. Если ${\displaystyle \chi }$ является характером Дирихле, его L-ряд Дирихле определяется равенством ${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$ где s — комплексное число с вещественной частью > 1. Путём аналитического продолжения эта функция может быть продолжена до мероморфной функции на всей комплексной плоскости. L-функции Дирихле являются обобщением дзета-функции Римана и заметно проявляются в обобщённых гипотезах Римана. Характеры Дирихле названы в честь Петера Густава Лежёна Дирихле. Содержание 1 Аксиоматическое определение 2 Построение через классы вычетов 2.1 Классы вычетов 2.2 Характеры Дирихле 3 Примеры 4 Некоторые таблицы характеров 4.1 По модулю 1 4.2 По модулю 2 4.3 По модулю 3 4.4 По модулю 4 4.5 По модулю 5 4.6 По модулю 6 4.7 По модулю 7 4.8 По модулю 8 4.9 По модулю 9 4.10 По модулю 10 5 Примеры 6 Примитивные характеры и кондуктор 7 Ортогональность характеров 8 История 9 См. также 10 Примечания 11 Литература Аксиоматическое определение Характер Дирихле — это любая функция ${\displaystyle \chi }$ на множестве целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ с комплексными значениями, имеющая следующие свойства[1]: Существует положительное целое число k, такое что ${\displaystyle \chi (n)=\chi (n+k)}$ для любых n. Если n и k не взаимно просты, то ${\displaystyle \chi (n)=0}$; если же они взаимно просты, ${\displaystyle \chi (n)\neq 0}$. ${\displaystyle \chi (mn)=\chi (m)\chi (n)}$ для любых целых m и n. Из этого определения можно вывести некоторые другие свойства. Согласно свойству 3) ${\displaystyle \chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)\chi (1)}$. Поскольку НОД(1, k) = 1, свойство 2) гласит, что ${\displaystyle \chi (1)\neq 0}$, так что ${\displaystyle \chi (1)=1}$. Свойства 3) и 4) показывают, что любой характер Дирихле ${\displaystyle \chi }$ является вполне мультипликативным[англ.] характером. Свойство 1) говорит, что характер является периодической функцией с периодом k. Мы говорим, что ${\displaystyle \chi }$ является характером по модулю k. Это эквивалентно утверждению, что если ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {k}}}$, то ${\displaystyle \chi (a)=\chi (b)}$. Если НОД(a,k) = 1, теорема Эйлера утверждает, что ${\displaystyle a^{\varphi (k)}\equiv 1{\pmod {k}}}$ (где ${\displaystyle \varphi (k)}$ является функцией Эйлера). Таким образом, согласно свойствам 5) и 4), ${\displaystyle \chi (a^{\varphi (k)})=\chi (1)=1}$, а по свойству 3) ${\displaystyle \chi (a^{\varphi (k)})=\chi (a)^{\varphi (k)}}$. Следовательно, Для всех a, взаимно простых с k, ${\displaystyle \chi (a)}$ является ${\displaystyle \varphi (k)}$-ым комплексным корнем из единицы, то есть ${\displaystyle e^{2ri\pi /\varphi (k)}}$ для некоторого целого ${\displaystyle 0\leqslant r<\varphi (k)}$. Единственный характер с периодом 1 называется тривиальным характером. Заметим, что любой характер обращается в 0 в точке 0, за исключением тривиального, который равен 1 для всех целых чисел. Характер, принимающий значение 1 на всех числах, взаимно простых с ${\displaystyle k}$, называется главным: ${\displaystyle \chi _{0}(n)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&{\text{НОД}}(n,\;k)=1;\\0,&{\text{НОД}}(n,\;k)\neq 1.\end{array}}\right.}$[2]. В группе характеров по модулю ${\displaystyle k}$ он играет роль единицы. Характер называется вещественным, если он принимает только вещественные значения. Характер, не являющийся вещественным, называется комплексным[3] Знак характера ${\displaystyle \chi }$ зависит от его значения в точке 1. Говорят, что ${\displaystyle \chi }$ нечётный, если ${\displaystyle \chi (-1)=-1}$, и чётный, если ${\displaystyle \chi (-1)=1}$. Построение через классы вычетов Характеры Дирихле могут рассматриваться в терминах группы характеров[англ.] группы обратимых элементов кольца ${\displaystyle \mathbb {Z} /k\mathbb {Z} }$ как расширенные характеры классов вычетов[4]. Классы вычетов Если дано целое число k, можно определить класс вычета целого числа n как множество всех целых чисел, сравнимых с n по модулю k: ${\displaystyle {\hat {n}}=\{m\mid m\equiv n{\pmod {k}}\}.}$ То есть класс вычетов ${\displaystyle {\hat {n}}}$ является классом смежности n в факторкольце ${\displaystyle \mathbb {Z} /k\mathbb {Z} }$. Множество обратимых элементов по модулю k образует абелеву группу порядка ${\displaystyle \varphi (k)}$, где умножение в группе задаётся равенством ${\displaystyle {\widehat {mn}}={\hat {m}}{\hat {n}}}$, а ${\displaystyle \varphi }$ снова означает функцию Эйлера. Единицей в этой группе служит класс вычетов ${\displaystyle {\hat {1}}}$, а обратным элементом для ${\displaystyle {\hat {m}}}$ является класс вычетов ${\displaystyle {\hat {n}}}$, где ${\displaystyle {\hat {m}}{\hat {n}}={\hat {1}}}$, то есть ${\displaystyle mn\equiv 1{\pmod {k}}}$. Например, для k=6 множеством обратимых элементов является ${\displaystyle \{{\hat {1}},{\hat {5}}\}}$, поскольку 0, 2, 3 и 4 не взаимно просты с 6. Группа характеров ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k)^{*}}$ состоит из характеров классов вычетов. Характер класса вычетов ${\displaystyle \theta }$ на ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k)^{*}}$ примитивен, если нет собственного делителя d для k, такого что ${\displaystyle \theta }$ факторизуются как ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k)^{*}\to (\mathbb {Z} /d)^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}$[5]. Характеры Дирихле Определение характера Дирихле по модулю k обеспечивает, чтобы он был ограничен характером[англ.] группы обратимых элементов по модулю k[6]: группа гомоморфизмов ${\displaystyle \chi }$ из ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k)^{*}}$ в ненулевые комплексные числа ${\displaystyle \chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}$, со значениями, которые обязательно будут корнями из единицы, поскольку обратимые элементы по модулю k образуют конечную группу. В обратном направлении, если дана группа гомоморфизмов ${\displaystyle \chi }$ на группе обратимых элементов по модулю k, мы можем поднять[англ.] до вполне мультипликативной[англ.] функции на целых числах, взаимно простых с k, а затем расширить эту функцию на все целые числа путём присвоения значения 0 на всех целых числах, имеющих нетривиальные делители, общие с k. Получающаяся функция будет тогда характером Дирихле[7]. Главный характер ${\displaystyle \chi _{1}}$ по модулю k имеет свойства [7] ${\displaystyle \chi _{1}(n)=1}$ при НОД(n, k) = 1 и ${\displaystyle \chi _{1}(n)=0}$ при НОД(n, k) > 1. Ассоциированный характер мультипликативной группе ${\displaystyle (\mathbb {Z} /k)^{*}}$ является главным характером, который всегда принимает значение 1[8]. Когда k равен 1, главный характер по модулю k равен 1 на всех целых чисел. Для k, большего 1, главные характеры по модулю k обращаются в нуль в целых числах, имеющих ненулевые общие множители с k, и равно 1 на других целых числах. Имеется ${\displaystyle \varphi (n)}$ характеров Дирихле по модулю n[7]. Примеры Для любого нечётного модуля ${\displaystyle k}$ символ Якоби ${\displaystyle \left({\frac {n}{k}}\right)}$ является характером по модулю ${\displaystyle k}$. Степенной вычет степени выше 2 — это невещественный характер. Некоторые таблицы характеров Таблицы ниже помогают иллюстрировать природу характеров Дирихле. Они представляют характеры по модулю от 1 до 10. Характеры ${\displaystyle \chi _{1}}$ являются главными характерами. По модулю 1 Существует ${\displaystyle \varphi (1)=1}$ характер по модулю 1: ${\displaystyle \chi \setminus n}$   0   ${\displaystyle \chi _{1}(n)}$ 1 Это тривиальный характер. По модулю 2 Существует ${\displaystyle \varphi (2)=1}$ характер по модулю 2: ${\displaystyle \chi \setminus n}$   0     1   ${\displaystyle \chi _{1}(n)}$ 0 1 Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (1)}$, поскольку 1 порождает группу обратимых элементов по модулю 2. По модулю 3 Есть ${\displaystyle \varphi (3)=2}$ характера по модулю 3: ${\displaystyle \chi \setminus n}$   0     1     2   ${\displaystyle \chi _{1}(n)}$ 0 1 1 ${\displaystyle \chi _{2}(n)}$ 0 1 1 Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (2)}$, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 3. По модулю 4 Существует ${\displaystyle \varphi (4)=2}$ характера по модулю 4: ${\displaystyle \chi \setminus n}$   0     1     2     3   ${\displaystyle \chi _{1}(n)}$ 0 1 0 1 ${\displaystyle \chi _{2}(n)}$ 0 1 0 1 Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (3)}$, поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 4. L-ряд Дирихле для ${\displaystyle \chi _{1}(n)}$ равен лямбда-функции Дирихле (тесно связанной с эта-функцией Дирихле) ${\displaystyle L(\chi _{1},s)=(1-2^{-s})\zeta (s)}$, где ${\displaystyle \zeta (s)}$ является дзета-функцией Римана. L-ряд для ${\displaystyle \chi _{2}(n)}$ является бета-функцией Дирихле ${\displaystyle L(\chi _{2},s)=\beta (s).\,}$ По модулю 5 Существует ${\displaystyle \varphi (5)=4}$ характеров по модулю 5. В таблицах i является квадратным корнем из ${\displaystyle -1}$. ${\displaystyle \chi \setminus n}$   0     1     2     3     4   ${\displaystyle \chi _{1}(n)}$ 0 1 1 1 1 ${\displaystyle \chi _{2}(n)}$ 0 1 i i 1 ${\displaystyle \chi _{3}(n)}$ 0 1 1 1 1 ${\displaystyle \chi _{4}(n)}$ 0 1 i i 1 Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значение ${\displaystyle \chi (2)}$, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 5. По модулю 6 Существует ${\displaystyle \varphi (6)=2}$ характеров по модулю 6: ${\displaystyle \chi \setminus n}$   0     1     2     3     4     5   ${\displaystyle \chi _{1}(n)}$ 0 1 0 0 0 1 ${\displaystyle \chi _{2}(n)}$ 0 1 0 0 0 1 Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением${\displaystyle \chi (5)}$, поскольку 5 порождает группу обратимых элементов по модулю 6. По модулю 7 Существует ${\displaystyle \varphi (7)=6}$ характеров по модулю 7. В таблице ниже ${\displaystyle \omega =\exp(\pi i/3).}$ ${\displaystyle \chi \setminus n}$   0     1     2     3     4     5     6   ${\displaystyle \chi _{1}(n)}$ 0 1 1 1 1 1 1 ${\displaystyle \chi _{2}(n)}$ 0 1 ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle -\omega }$ ${\displaystyle -\omega ^{2}}$ 1 ${\displaystyle \chi _{3}(n)}$ 0 1 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle -\omega }$ 1 ${\displaystyle \chi _{4}(n)}$ 0 1 1 1 1 1 1 ${\displaystyle \chi _{5}(n)}$ 0 1 ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle -\omega }$ ${\displaystyle -\omega }$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$ 1 ${\displaystyle \chi _{6}(n)}$ 0 1 ${\displaystyle -\omega }$ ${\displaystyle -\omega ^{2}}$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle \omega }$ 1 Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (3)}$, поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 7. По модулю 8 Существует ${\displaystyle \varphi (8)=4}$ характеров по модулю 8. ${\displaystyle \chi \setminus n}$   0     1     2     3     4     5     6     7   ${\displaystyle \chi _{1}(n)}$ 0 1 0 1 0 1 0 1 ${\displaystyle \chi _{2}(n)}$ 0 1 0 1 0 1 0 1 ${\displaystyle \chi _{3}(n)}$ 0 1 0 1 0 1 0 1 ${\displaystyle \chi _{4}(n)}$ 0 1 0 1 0 1 0 1 Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значениями ${\displaystyle \chi (3)}$ и ${\displaystyle \chi (5)}$, поскольку 3 и 5 порождают группу обратимых элементов по модулю 8. По модулю 9 Существует ${\displaystyle \varphi (9)=6}$ характеров по модулю 9. В таблице ниже ${\displaystyle \omega =\exp(\pi i/3).}$ ${\displaystyle \chi \setminus n}$   0     1     2     3     4     5     6     7     8   ${\displaystyle \chi _{1}(n)}$ 0 1 1 0 1 1 0 1 1 ${\displaystyle \chi _{2}(n)}$ 0 1 ${\displaystyle \omega }$ 0 ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle -\omega ^{2}}$ 0 ${\displaystyle -\omega }$ 1 ${\displaystyle \chi _{3}(n)}$ 0 1 ${\displaystyle \omega ^{2}}$ 0 ${\displaystyle -\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ 0 ${\displaystyle \omega ^{2}}$ 1 ${\displaystyle \chi _{4}(n)}$ 0 1 1 0 1 1 0 1 1 ${\displaystyle \chi _{5}(n)}$ 0 1 ${\displaystyle -\omega }$ 0 ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$ 0 ${\displaystyle -\omega }$ 1 ${\displaystyle \chi _{6}(n)}$ 0 1 ${\displaystyle -\omega ^{2}}$ 0 ${\displaystyle -\omega }$ ${\displaystyle \omega }$ 0 ${\displaystyle \omega ^{2}}$ 1 Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением${\displaystyle \chi (2)}$, поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 9. По модулю 10 Существует ${\displaystyle \varphi (10)=4}$ характеров по модулю 10. ${\displaystyle \chi \setminus n}$   0     1     2     3     4     5     6     7     8     9   ${\displaystyle \chi _{1}(n)}$ 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 ${\displaystyle \chi _{2}(n)}$ 0 1 0 i 0 0 0 i 0 1 ${\displaystyle \chi _{3}(n)}$ 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 ${\displaystyle \chi _{4}(n)}$ 0 1 0 i 0 0 0 i 0 1 Заметим, что ${\displaystyle \chi }$ полностью определяется значением ${\displaystyle \chi (3)}$, поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 10. Примеры Если p является нечётным простым числом, то функция ${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {n}{p}}\right),\ }$ где ${\displaystyle \left({\frac {n}{p}}\right)}$ является символом Лежандра, является примитивным характером Дирихле по модулю p[9]. Более обще, если m является положительным нечётным числом, функция ${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {n}{m}}\right),\ }$ где ${\displaystyle \left({\frac {n}{m}}\right)}$ является символом Якоби, является характером Дирихле по модулю m[9]. Это квадратичные характеры — в общем случае примитивные квадратичные характеры возникают в точности из cимвола Кронекера — Якоби[10]. Примитивные характеры и кондуктор При переходе от вычетов по модулю N к вычетам по модулю M для любого множителя M числа N происходит потеря информации. Эффект характеров Дирихле дает противоположный результат – если ${\displaystyle \chi *}$ является характером по модулю M, он индуцирует характер ${\displaystyle \chi *}$ по модулю N для любого N, кратного M. Характер является примитивным, если он не индуцируется каким-либо характером по меньшему модулю[3]. Если ${\displaystyle \chi }$ – характер по модулю n и d делит n, мы говорим, что модуль d является индуцированным модулем для ${\displaystyle \chi }$, если ${\displaystyle \chi (a)=1}$ для всех a, взаимно простых с n и 1 mod d[11]: характер примитивен, если нет меньшего индуцированного модуля[12]. Мы можем это формализовать различным образом путём определения характеров ${\displaystyle \chi _{1}\mod N_{1}}$ и ${\displaystyle \chi _{2}\mod N_{2}}$ как согласованных, если для некоторого модуля N, такого что N1 и N2 оба делят N, мы имеем ${\displaystyle \chi _{1}(n)=\chi _{2}(n)}$ для всех n взаимно простых с N, то есть существует некоторый характер ${\displaystyle \chi *}$, порождённый как ${\displaystyle \chi _{1}}$, так и ${\displaystyle \chi _{2}}$. Это отношение эквивалентности на характерах. Характер с наименьшим модулем в классе эквивалентности является примитивным, и этот наименьший модуль является кондуктором характеров в классе. Непримитивность характеров может привести к отсутствию эйлеровых множителей[англ.] в их L-функциях. Ортогональность характеров Ортогональность характеров конечной группы переносится на характеры Дирихле[13]. Если мы зафиксируем характер ${\displaystyle \chi }$ по модулю n, то ${\displaystyle \sum _{a{\bmod {n}}}\chi (a)=0}$, если ${\displaystyle \chi }$ не главный характер, иначе сумма равна ${\displaystyle \varphi (n)}$. Аналогично, если зафиксировать класс вычетов a по модулю n, то сумма по всем характерам даёт ${\displaystyle \sum _{\chi }\chi (a)=0}$, кроме случая a=1, когда сумма равна ${\displaystyle \varphi (n)}$. Отсюда делаем вывод, что любая периодическая функция с периодом n над классом вычетов, взаимно простых с n, является линейной комбинацией характеров Дирихле[14]. История Характеры Дирихле вместе с их ${\displaystyle L}$-рядами были введены Дирихле в 1831 году, в рамках доказательства теоремы Дирихле о бесконечности числа простых чисел в арифметических прогрессиях. Он изучал их только для ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ и в основном когда ${\displaystyle s}$ стремится к 1. Расширение этих функций на всю комплексную плоскость было получено Риманом в 1859 году. См. также Характер Гекке[англ.] Сумма характеров[англ.] Сумма Гаусса Примитивный корень по модулю n Класс Сельберга[англ.] Примечания Montgomery, Vaughan, 2007, с. 117-8. Montgomery, Vaughan, 2007, с. 115. 1 2 Montgomery, Vaughan, 2007, с. 123. Frhlich, Taylor, 1991, с. 218. Frhlich, Taylor, 1991, с. 215. Apostol, 1976, с. 139. 1 2 3 Apostol, 1976, с. 138. Apostol, 1976, с. 134. 1 2 Montgomery, Vaughan, 2007, с. 295. Montgomery, Vaughan, 2007, с. 296. Apostol, 1976, с. 166. Apostol, 1976, с. 168. Apostol, 1976, с. 140. Davenport, 1967, с. 31–32. Литература Apostol T. M. Introduction to analytic number theory. — New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-90163-3. — . Apostol T. M. Some properties of completely multiplicative arithmetical functions // The American Mathematical Monthly. — 1971. — Т. 78, вып. 3. — С. 266–271. — doi:10.2307/2317522. — . — . Robert Spira. Calculation of Dirichlet L-Functions // Mathematics of Computation. — 1969. — Т. 23, вып. 107. — С. 489–497. — doi:10.1090/S0025-5718-1969-0247742-X. — . Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.