Меню Главная Случайная статья Настройки Бета-функция Дирихле Материал из https://ru.wikipedia.org Бета-функция Дирихле (Dirichlet beta function) в математике, иногда называемая бета-функцией Каталана (Catalan beta function) — специальная функция, тесно связанная с дзета-функцией Римана. Она является частным случаем L-функции Дирихле. Она названа в честь немецкого математика Петера Густава Лежён-Дирихле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet), а альтернативное название — в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана (Eugne Charles Catalan). Бета-функция Дирихле определяется как[1] ${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\;,}$ или, эквивалентным образом, через интегральное представление ${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx\;,}$ где (s) — гамма-функция Эйлера. В обоих случаях предполагается, что Re(s) > 0. Содержание 1 Связь с другими функциями 2 Функциональное соотношение 3 Частные значения 4 Приблизительные значения 5 Производная бета-функции Дирихле 6 См. также 7 Примечания 8 Литература Связь с другими функциями Альтернативное определение через дзета-функцию Гурвица справедливо на всей комплексной плоскости переменной s: ${\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left[\zeta \left(s,{\tfrac {1}{4}}\right)-\zeta \left(s,{\tfrac {3}{4}}\right)\right]\;.}$ Бета-функция Дирихле также связана с трансцендентной функцией Лерха?! (англ. Lerch transcendent), ${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{\tfrac {1}{2}}\right)\;.}$ Это соотношение также верно на всей комплексной плоскости переменной s[2]. Функциональное соотношение Соотношение между (s) и (1-s) позволяет аналитически продолжить бета-функцию Дирихле на левую часть комплексной плоскости переменной s (то есть для Re(s)<0), ${\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos \left({\tfrac {1}{2}}\pi s\right)\,\beta (1-s)\;,}$ где (s) — гамма-функция Эйлера. Частные значения Частные значения бета-функции Дирихле при целых значения аргумента включают в себя ${\displaystyle \beta (0)\;=\;{\tfrac {1}{2}},}$ ${\displaystyle \beta (1)\;=\;{\tfrac {1}{4}}\pi ,}$ ${\displaystyle \beta (2)\;=\;G,}$ ${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\tfrac {1}{32}}\pi ^{3},}$ ${\displaystyle \beta (4)\;=\;{\tfrac {1}{768}}\left[\psi _{3}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-8\pi ^{4}\right],}$ ${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\tfrac {5}{1536}}\pi ^{5},}$ ${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\tfrac {61}{184320}}\pi ^{7},}$ ${\displaystyle \beta (9)\;=\;{\tfrac {1385}{41287680}}\pi ^{9},}$ где G — постоянная Каталана, а ${\displaystyle {\textstyle {\psi _{3}({\frac {1}{4}})}}}$ — частное значение пентагамма-функции (полигамма-функции третьего порядка). В общем случае для любого положительного целого k ${\displaystyle \beta (2k)={\frac {1}{2^{4k}(2k-1)!}}\left[\psi _{2k-1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{2k-1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right],}$ ${\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!},}$ где ${\displaystyle \psi _{2k-1}(z)\equiv \psi ^{(2k-1)}(z)}$ — полигамма-функция порядка (2k-1), а E2k — числа Эйлера[3]. Для отрицательных значений аргумента (для целых неотрицательных k) мы имеем ${\displaystyle \beta (-2k)={\tfrac {1}{2}}E_{2k}\;,}$ ${\displaystyle \beta (-2k-1)=0\;,}$ то есть (s) равна нулю для всех целых нечётных отрицательных значений аргумента (см. график функции)[2]. Приблизительные значения s приблизительное значение (s) OEIS 1 0.7853981633974483096156608 A003881 2 0.9159655941772190150546035 A006752 3 0.9689461462593693804836348 A153071 4 0.9889445517411053361084226 A175572 5 0.9961578280770880640063194 A175571 6 0.9986852222184381354416008 A175570 7 0.9995545078905399094963465 8 0.9998499902468296563380671 9 0.9999496841872200898213589 10 0.9999831640261968774055407 Производная бета-функции Дирихле Для некоторых целых значений аргумента s производная '(s) может быть вычислена аналитически[2], ${\displaystyle \beta ^{\prime }(-1)={\frac {2G}{\pi }}\;,}$ ${\displaystyle \beta ^{\prime }(0)=\ln \left({\frac {\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{4}})}{2\pi {\sqrt {2}}}}\right)\;,}$ ${\displaystyle \beta ^{\prime }(1)={\frac {\pi }{4}}\left(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {1}{4}})\right)\;,}$ (см. также OEIS A113847 и A078127). Кроме этого, для целых положительных n производную можно представить в виде бесконечной суммы[2] ${\displaystyle \beta ^{\prime }(n)=-\sum _{k=1}^{\infty }\ln \left({\frac {(4k+1)^{1/(4k+1)^{n}}}{(4k-1)^{1/(4k-1)^{n}}}}\right)\;.}$ См. также Дзета-функция Римана Постоянная Каталана Дзета-функция Гурвица Примечания Christopher Clapham, James Nicholson. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. — Oxford University Press, 2014. — С. 138. — 544 с. — ISBN 9780199679591. 1 2 3 4 Eric W. Weisstein. Dirichlet Beta Function  (неопр.) (HTML). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 10 февраля 2015. Архивировано 30 марта 2015 года. K. S. Klbig. The polygamma function ${\displaystyle \psi ^{(k)}(x)}$ for ${\displaystyle x={\tfrac {1}{4}}}$ and ${\displaystyle x={\tfrac {3}{4}}}$ (англ.) // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 1996. — Vol. 75. — P. 43—46. — doi:10.1016/S0377-0427(96)00055-6. Литература J. Spanier & K. B. Oldham. An Atlas of Functions, Hemisphere, New York, 1987 Eric W. Weisstein. Dirichlet Beta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.