Ru.Wikipedia.Org - Целая рациональная функция

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Целая рациональная функция
Материал из https://ru.wikipedia.org

Целая рациональная функция (также полиномиальная функция) — числовая функция, задаваемая многочленом. Наиболее простыми представителями целой рациональной функции являются константная, линейная и квадратичная функции.

Наряду с дробно-рациональными функциями, целые рациональные функции являются частным случаем рациональных функций.

Содержание

Определение

Целая рациональная функция — функция одного вещественного переменного вида:

f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},

где

n\in \mathbb {N}

a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{2},a_{1},a_{0}\in \mathbb {R}

a_{n}\neq 0

.

Иначе говоря, целая рациональная функция представляет собой линейную комбинацию нескольких степенных функций.

Замечания

Особым случаем целой рациональной функции является функция $f(x)=0$ , все коэффициенты которой равны нулю.

Натуральное число $n$ (наибольший показатель степени переменной $x$ ) определяет степень полиномиальной функции.
Действительные числа $a_{n},\ldots ,a_{2},a_{1},a_{0}$ называются коэффициентами полиномиальной функции. При этом число $a_{n}$ часто называют старшим коэффициентом, а число $a_{0}$ — свободным коэффициентом.

Типы

При $n=0$ полиномиальная функция вырождается в константную функцию $f(x)=a_{0}$
При $n=1$ получается линейная функция $f(x)=a_{1}x+a_{0}$ .
При $n=2$ получается квадратичная функция $f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ .
При $n=3$ получается кубическая функция $f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ .
Если $a_{n}\neq 0$ и все остальные коэффициенты равны $0$ , имеет место степенная функция $f(x)=a_{n}x^{n}$ с натуральным показателем.

Примеры

Функция $f(x)=-2x^{3}+3x^{2}-5x+4$ является полиноминальной функцией третьей степени с коэффициентами $-2$ ; $3$ ; $-5$ и $4$ .
Функция $f(x)=x^{5}+3x^{3}+5x$ является полиноминальной функцией пятой степени с коэффициентами $1$ ; $0$ ; $3$ ; $0$ ; $5$ и $0$ .
Функция $f(x)={\frac {1}{3}}x^{2}-{\sqrt {2}}$ является полиноминальной функцией второй степени (то есть квадратичной функцией) с коэффициентами ${\frac {1}{3}}$ и $-{\sqrt {2}}$ .

Основные свойства

Область определения, множество значений, пределы

Полиномиальная функция над полем действительных чисел определена всюду и является непрерывной на всей своей области определения. Её множество значений также является подмножеством множества действительных чисел. При чётном

n

множество значений будет, в зависимости от знака старшего коэффициента

a_{n}

, ограничено сверху или снизу (см. также таблицу).

Предел полиномиальной функции на бесконечности

x\to \pm \infty

всегда существует, а его конкретное значение зависит от чётности степени

n

и знака при старшем коэффициенте

a_{n}

. При этом график полиномиальной функции ведёт себя точно так же, как и график степенной функции

g(x)=a_{n}x^{n}

	чётное $n$		нечётное $n$
$a_{n}>0$	$f(x)\to +\infty$ при $x\to \pm \infty$ (множество значений ограничено снизу)		$f(x)\to -\infty$ при $x\to -\infty$ $f(x)\to +\infty$ при $x\to +\infty$
$a_{n}<0$	$f(x)\to -\infty$ при $x\to \pm \infty$ (множество значений ограничено сверху)		$f(x)\to +\infty$ при $x\to -\infty$ $f(x)\to -\infty$ при $x\to +\infty$

Предел полиномиальной функции в каждой точке

x_{0}

совпадает со значением функции в этой точке:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})

.

Например, для функции

f(x)=3x^{8}-5x^{4}+1

имеем:

\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }(3x^{8})=+\infty

\lim _{x\to 1}f(x)=f(1)=3-5+1=-1

Чётность и симметрия

Полиномиальная функция является чётной, если все показатели степени в её записи являются чётными числами. График такой функции обладает осевой симметрией по отношению к оси ординат). Эта симметрия имеет место ввиду равенства

f(-x)=f(x)

, справедливого по отношению к чётным функциям. Чётными, например, являются следующие полиномиальные функции:

$f(x)=-2x^{4}+3x^{2}$ с показателями $4$ и $2$
$f(x)=-2x^{4}+3x^{2}+1$ с показателями $4$ ; $2$ и $0$
$f(x)=5x^{6}-2$ с показателями $6$ и $0$

Полиномиальная функция является нечётной, если все показатели степени в её записи являются нечётными числами. График такой функции обладают центральной симметрией по отношению к центру системы координат). Эта симметрия имеет место ввиду равенства

f(-x)=-f(x)

, выполняющегося для нечётных функциям. Нечётными являются, например, следующие полиномиальные функции:

$f(x)=2x^{7}-3x^{5}$ с показателями $7$ и $5$
$f(x)=-2x^{5}+3x^{3}-2x$ с показателями $5$ ; $3$ и $1$

Если в записи полиномиальной функции встречаются как чётные, так и нечётные показатели, такая функция не является ни чётной, ни ничётной. По этой причине её график не обладает симметрией ни по отношению к оси ординат, ни по отношению к центру системы координат. Тем не менее, такие функции могут обладать более сложными случаями симметрии. В частности, справедливы следующие утверждения:

Если $f(x_{0}+x)=f(x_{0}-x)$ для некоторого числа $x_{0}\in \mathbb {R}$ , то график этой функции обладает осевой симметрией по отношению к прямой $x=x_{0}$ .
Если $f(x_{0}+x)-y_{0}=-f(x_{0}-x)+y_{0}$ для некоторой пары чисел $x_{0},y_{0}\in \mathbb {R}$ , то график этой функции обладает центральной симметрией по отношению к точке $P(x_{0}|y_{0})$ .

Кроме того, также имеют место следующие свойства:

График каждой полиноминальной функции второй степени является симметричным по отношению к прямой, проходящей параллельно оси ординат через вершину параболы, которая одновременно также является точкой экстремума этой функции.
График каждой полиноминальной функции третьей степени является симметричным по отношению к своей точке перегиба.

Производная и первообразная

(u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x)

(a\cdot x^{n})'=a\cdot n\cdot x^{n-1}

(a)'=0