Меню Главная Случайная статья Настройки Централизатор и нормализатор Материал из https://ru.wikipedia.org В математике централизатор подмножества S группы G — это множество элементов G, которые коммутируют с каждым элементом S, а нормализатор S — это множество элементов G, которые коммутируют с S «в целом». Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G и могут пролить свет на структуру G. Определение применимо также к полугруппам. В теории колец централизатор подмножества кольца определяется относительно операции полугруппы (умножения). Централизатор подмножества кольца R является подкольцом R. В этой статье также говорится о централизаторах и нормализаторах в алгебре Ли. Идеализатор[англ.] в полугруппе или кольце — это ещё одна конструкция в том же духе, что централизатор и нормализатор. Содержание 1 Определения 2 Свойства 2.1 Полугруппы 3 См. также 4 Примечания 5 Ссылки Определения Группы и полугруппы Централизатор подмножества S группы (или полугруппы) G определяется как[1] ${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\{g\in G\mid sg=gs}$ для всех ${\displaystyle s\in S\}}$ Иногда, в случае отсутствия двусмысленности, группа G полностью определяется нотацией. Если S={a} — множество, состоящее из единственного элемента, CG({a}) можно сократить до CG(a). Другим, менее употребимым, обозначением для централизатора служит Z(a), которое проводит параллель с обозначением центра группы. Здесь следует проявлять осторожность, чтобы не спутать центр группы G, Z(G), и централизатор элемента g в G, который обозначается как Z(g). Нормализатор S в группе (или полугруппе) G по определению равен ${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}}$ Определения похожи, но не идентичны. Если g — централизатор S и s принадлежит S, то должно выполняться ${\displaystyle gs=sg}$, однако, если g — нормализатор, ${\displaystyle gs=tg}$ для некоторого t из S, возможно, отличного от s. То же соглашение об опускании G и скобок для множеств из единственного элемента также используется и для нормализатора. Нормализатор не следует путать с нормальным замыканием. Кольца, алгебры, кольца и алгебры Ли Если R — кольцо или алгебра, а S — подмножество кольца, то централизатор S в точности совпадает c определением для групп, только вместо G стоит R. Если ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ — алгебра Ли (или кольцо Ли[англ.]) с произведением Ли [x,y], то централизатор подмножества S ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ определяется как [2] ${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0}$ для всех ${\displaystyle s\in S\}}$ Определение централизаторов для колец Ли связано с определением для колец следующим образом. Если R — ассоциативное кольцо, то для R можно задать скобочное произведение [x,y] = xy yx. Естественно, xy = yx тогда и только тогда, когда [x,y] = 0. Если мы обозначим множество R со скобочным произведением как LR, то ясно, что централизатор кольца S в R совпадает с централизатором кольца Ли S в LR. Нормализатор подмножества S алгебры Ли (или кольца Ли) ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ задаётся равенством[2] ${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S}$ для всех ${\displaystyle s\in S\}}$ В то время как это определение является стандартным для термина «нормализатор» в алгебре Ли, следует заметить, что эта конструкция является фактически идеализатором[англ.] множества S в ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$. Если S аддитивная подгруппа ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$, то ${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)}$ является наибольшим подкольцом Ли (или подалгеброй Ли), в которой S является идеалом Ли.[2] Свойства Полугруппы Пусть S — централизатор, то есть ${\displaystyle S'=\{x\in A:sx=xs\ }$ для всех ${\displaystyle s\in S\}.}$ Тогда: S образует подполугруппу. ${\displaystyle S'=S'''=S'''''}$ — коммутант является своим бикоммутантом[англ.]. Группы [3] Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G. Ясно, что CG(S)NG(S). На самом деле, CG(S) всегда является нормальной подгруппой NG(S). CG(CG(S)) содержит S, но CG(S) не обязательно содержит S. CG(S) будет совпадать с S если st=ts для любого s и t из S. Естественно, что если H — абелева подгруппа G, CG(H) содержит H. Если S является подполугруппой G, то NG(S) содержит S. Если H является подгруппой G, то наибольшая подгруппа, в которой H нормальна, является подгруппой NG(H). Центр G — это в точности CG(G) и G является абелевой группой в том и только в том случае, когда CG(G)=Z(G) = G. Для множеств, состоящих из одного элемента, CG(a)=NG(a). Из принципа симметрии, если S и T являются двумя подмножествами G, TCG(S) в том и только в том случае, когда SCG(T). Для подгруппы H группы G факторгруппа NG(H)/CG(H) изоморфна подгруппе Aut(H), группе автоморфизмов группы H. Поскольку NG(G) = G и CG(G) = Z(G), отсюда также следует, что G/Z(G) изоморфно Inn(G), подгруппе Aut(G), состоящей из всех внутренних автоморфизмов G. Если мы определим гомоморфизм группы T : G Inn(G), положив T(x)(g) = Tx(g) = xgx 1, то мы можем описать NG(S) и CG(S) в терминах действия группы Inn(G) на G: стабилизатор S в Inn(G) — это T(NG(S)), и подгруппа Inn(G), фиксирующая S — это T(CG(S)). Кольца и алгебры[2] Централизаторы в кольцах и алгебрах — это подкольца и подалгебры, соответственно, а централизаторы в кольцах Ли и алгебрах Ли — это подкольца Ли и подалгебры Ли, соответственно. Нормализатор S в кольце Ли содержит централизатор S. CR(CR(S)) содержит S, но не обязательно совпадает с ним. Теорема о двойном централизаторе[англ.] рассматривает случаи, когда в результате получаем совпадение. Если S является аддитивной подгруппой кольца Ли A, то NA(S) является наибольшим подкольцом Ли A, в котором S — идеал Ли. Если S — подкольцо Ли кольца Ли A, то SNA(S). См. также Коммутатор Стабилизатор подгруппы Норма (теория групп) Множители и централизаторы (банаховы пространства)[англ.] Теорема о двойном централизаторе[англ.] Идеализатор[англ.] Примечания Jacobson, 2009, p. 41. 1 2 3 4 Jacobson, 1979. Isaacs, 2009. Ссылки I. Martin Isaacs. Algebra: a graduate course. — reprint of the 1994 original. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2009. — С. xii+516. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 978-0-8218-4799-2.