Меню Главная Случайная статья Настройки Циссоида Материал из https://ru.wikipedia.org Циссоида — кривая, созданная из двух заданных кривых C1, C2 относительно точки O (полюса). Пусть L — прямая, проходящая через O и пересекающая C1 в точке P1, а C2 — в точке P2. Пусть P — точка на L такая, что OP = P1P2 (на самом деле имеются две таких точки, но P выбирается так, что P находится в том же направлении от O, что и P2 от P1). Множество таких точек P называется циссоидой кривых C1, C2 относительно O. Слегка отличные, но, в сущности, эквивалентные определения можно встретить у различных авторов. Например, P может быть определена такой точкой, что OP = OP1 + OP2. Это определение эквивалентно приведённому, если C1 заменить её отражением относительно O. Также можно определить P как середину P1 и P2. Эта кривая совпадает с кривой из предыдущего определения с коэффициентом подобия 1/2. Слово «циссоида» пришло из греческого языка — kissoeids «подобный плющу» — от kissos «плющ» и oeids «подобный». Строфоида есть частный случай дефективной гиперболы[1]. Содержание 1 Уравнения 2 Специальные случаи 2.1 Гиперболы 2.2 Циссоиды Зарадника 3 См. также 4 Примечания 5 Литература 6 Ссылки Уравнения Если C1 и C2 заданы в полярных координатах функциями ${\displaystyle r=f_{1}(\theta )}$ и ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )}$ соответственно, то уравнение ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )}$ задаёт циссоиду C1 и C2 относительно начала координат. Однако точка может быть представлена различными способами в полярных координатах, так что могут существовать другие ветки циссоиды с другими уравнениями. В частности, C1 можно задать как ${\displaystyle r=-f_{1}(\theta +\pi ),\ r=-f_{1}(\theta -\pi ),\ r=f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots }$. Таким образом, циссоида — это объединение кривых, заданных уравнениями ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta ),\ r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta +\pi ),\ r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta -\pi ),\ }$ ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots }$. Часть из этих уравнений приведут к повторению кривых и могут быть исключены. Например, пусть C1 и C2 — это эллипсы ${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}}$. Первая ветвь циссоиды задаётся уравнением ${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}-{\frac {1}{2-\cos \theta }}=0}$, то есть, эта ветвь является одной точкой — началом координат. Эллипс также задаётся уравнением ${\displaystyle r={\frac {-1}{2+\cos \theta }}}$, так что вторая ветвь циссоиды задаётся уравнением:${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}+{\frac {1}{2+\cos \theta }}}$, и эта кривая имеет форму овала. Если C1 и C2 заданы параметрическими уравнениями ${\displaystyle x=f_{1}(p),\ y=px}$ и ${\displaystyle x=f_{2}(p),\ y=px}$, то циссоида относительно начала координат задаётся уравнением:${\displaystyle x=f_{2}(p)-f_{1}(p),\ y=px}$. Специальные случаи Если C1 является окружностью с центром в точке O, то циссоида является конхоидой кривой C2. Если C1 и C2 — две параллельные прямые, то их циссоида — третья прямая, параллельная этим двум. Гиперболы Пусть C1 и C2 — две непараллельные прямые и пусть O — начало координат. Пусть C1 и C2 задаются в полярных координатах уравнениями ${\displaystyle r={\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha _{1})}}}$ и ${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta -\alpha _{2})}}}$. Мы можем повернуть на угол ${\displaystyle (\alpha _{1}-\alpha _{2})/2}$ так, что можем предположить, что ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha ,\ \alpha _{2}=-\alpha }$. Тогда циссоида C1 и C2 относительно начала координат задаётся уравнением ${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta +\alpha )}}-{\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha )}}}$ ${\displaystyle ={\frac {a_{2}\cos(\theta -\alpha )-a_{1}\cos(\theta +\alpha )}{\cos(\theta +\alpha )\cos(\theta -\alpha )}}}$ ${\displaystyle ={\frac {(a_{2}\cos \alpha -a_{1}\cos \alpha )\cos \theta -(a_{2}\sin \alpha +a_{1}\sin \alpha )\sin \theta }{\cos ^{2}\alpha \ \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\alpha \ \sin ^{2}\theta }}}$. Обозначив константные выражения, получим ${\displaystyle r={\frac {b\cos \theta +c\sin \theta }{\cos ^{2}\theta -m^{2}\sin ^{2}\theta }}}$ что в декартовых координатах превращается в ${\displaystyle x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy}$. Эта формула задаёт гиперболу, проходящую через начало координат. Таким образом, циссоида двух непараллельных прямых является гиперболой, проходящей через полюс. Похожие рассуждения показывают, в обратную сторону, что любая гипербола является циссоидой двух непараллельных прямых относительно любой точки на гиперболе. Циссоиды Зарадника Циссоида Зарадника (названа по имени Карела Зарадника[англ.]) определяется как циссоида конического сечения и прямой относительно любой точки на сечении. Эти циссоиды образуют широкое семейство рациональных кубических кривых, среди которых некоторые хорошо известны. В частности: Трисектриса Маклорена, задаваемая формулой ${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}$ является циссоидой окружности ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и прямой ${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$ относительно начала координат. Правая строфоида ${\displaystyle y^{2}(a+x)=x^{2}(a-x)}$ является циссоидой окружности ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и прямой ${\displaystyle x=-a}$ относительно начала координат. Циссоида Диокла ${\displaystyle x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0}$ является циссоидой окружности ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и прямой ${\displaystyle x=-2a}$ относительно начала координат. Фактически это кривая, по которой семейство названо и некоторые авторы ссылаются на неё просто как на циссоиду. Циссоида окружности ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и прямой ${\displaystyle x=ka}$, где k — параметр. Циссоиду называют конхоидой Слюза (эти кривые не являются реальными конхоидами). Это семейство включает в себя предыдущие примеры. Декартов лист ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}$ является циссоидой эллипса ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}=-a(x+y)}$ и прямой ${\displaystyle x+y=-a}$ относительно начала координат. Чтобы это показать заметим, что прямую можно задать как ${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}},\ y=px}$, а эллипс можно задать как ${\displaystyle x=-{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}},\ y=px}$. Так что циссоида задаётся уравнением ${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}}+{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}}={\frac {3ap}{1+p^{3}}},\ y=px}$ и это уравнение является параметрической форой листа. См. также Конхоида Строфоида Циссоида Диокла Примечания Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, с. 64. Литература Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 293 с. Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил. Brieskorn E., Knrrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhuser, 1981. 721 p. Ссылки Weisstein, Eric W. Cissoid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. C. A. Nelson «Note on rational plane cubics» Bull. Amer. Math. Soc. Volume 32, Number 1 (1926), 71—76. 2D Curves «Courbe Cissodale» at Encyclopdie des Formes Mathmatiques Remarquables (на французском) «Cissodales de Zahradnik» at Encyclopdie des Formes Mathmatiques Remarquables (на французском)