Меню Главная Случайная статья Настройки Циссоида Диокла Материал из https://ru.wikipedia.org Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по ${\displaystyle OX}$, а ось ординат по ${\displaystyle OY}$, на отрезке ${\displaystyle OA=2a}$, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке ${\displaystyle A}$ проводится касательная ${\displaystyle UV}$. Из точки ${\displaystyle O}$ проводится произвольная прямая ${\displaystyle OF}$, которая пересекает окружность в точке ${\displaystyle E}$ и касательную в точке ${\displaystyle F}$. От точки ${\displaystyle F}$, в направлении точки ${\displaystyle O}$, откладывается отрезок ${\displaystyle FM}$, длина которого равна длине отрезка ${\displaystyle OE}$. При вращении линии ${\displaystyle OF}$ вокруг точки ${\displaystyle O}$, точка ${\displaystyle M}$ описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами. Содержание 1 Уравнения 2 История 3 Свойства 3.1 Площадь между циссоидой и асимптотой 3.2 Объём тела вращения 4 Примечания 5 Литература Уравнения Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так: ${\displaystyle y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)}$ Уравнение циссоиды в полярной системе координат: ${\displaystyle \rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi }}.}$ Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так: ${\displaystyle \rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=}$ ${\displaystyle =2a\left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\cos \varphi \right)=}$ ${\displaystyle =2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).}$ Параметрическое уравнение циссоиды: ${\displaystyle x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},}$ ${\displaystyle y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},}$ где ${\displaystyle u=\mathrm {tg} \,\varphi }$. История Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка ${\displaystyle P}$, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке ${\displaystyle E}$; ось симметрии — диаметр ${\displaystyle BD}$. Из точки ${\displaystyle P}$ проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка ${\displaystyle M}$, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой ${\displaystyle OE}$. Этим методом Диокл построил только кривую ${\displaystyle DOB}$ внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды (${\displaystyle DOB}$) замкнуть дугой окружности ${\displaystyle EAD}$, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — («киссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида». В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз. Свойства Циссоида симметрична относительно оси абсцисс. Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$, которые принадлежат диаметру этой окружности. Циссоида имеет один касп и асимптоту ${\displaystyle UV}$, уравнение которой: ${\displaystyle x=2a}$, где ${\displaystyle a}$ — радиус вспомогательной окружности. Циссоида является эвольвентой параболы с каспом в вершине параболы. При этом директриса параболы является асимптотой циссоиды.[1] Площадь между циссоидой и асимптотой Эта площадь равна: ${\displaystyle S_{1}=3\pi a^{2}.}$ Площадь, заключённая между ветвями циссоиды ${\displaystyle KOL}$ и асимптотой ${\displaystyle UV}$ ${\displaystyle S_{1}}$. Уравнение верхней ветви ${\displaystyle OL}$: ${\displaystyle y={\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}.\qquad \qquad (2)}$ Половина площади заключённой между циссоидой и асимптотой равна интегралу от уравнения (2) в пределах от 0 до ${\displaystyle 2a}$: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}=\int \limits _{0}^{2a}{\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}\,dx.\qquad \qquad (3)}$ Подстановка: ${\displaystyle u^{2}=2a-x,\qquad x=2a-u^{2},\qquad dx=-2u\,du.}$ Пределы интегрирования: ${\displaystyle x=0\Rightarrow u={\sqrt {2a}},\qquad x=2a\Rightarrow u=0.}$ Интеграл (3) преобразуется к виду: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}=-2\int \limits _{\sqrt {2a}}^{0}{\sqrt {(2a-u^{2})^{3}}}\,du=}$ ${\displaystyle =\left.-2\left({\frac {u}{8}}(10a-2u^{2}){\sqrt {2a-u^{2}}}+{\frac {3a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {u}{\sqrt {2a}}}\right)\right|_{\sqrt {2a}}^{0}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.}$ Итак: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.}$ ${\displaystyle S_{1}=3\pi a^{2}.}$ Объём тела вращения Объём (${\displaystyle V_{1}}$) тела, образованного при вращении ветви ${\displaystyle OL}$ вокруг оси абсцисс, рассчитывается так: ${\displaystyle V_{1}=\pi \int \limits _{0}^{2a}{\frac {x^{3}}{2a-x}}\,dx=}$ ${\displaystyle =\pi \int \limits _{0}^{2a}\left(-x^{2}-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3}}{2a-x}}\right)\,dx=}$ ${\displaystyle =\left.-{\frac {44\pi a^{3}}{3}}-8\pi a^{3}(\ln(2a-x))\right|_{0}^{2a}.}$ Если ${\displaystyle x\to 2a}$, то ${\displaystyle \ln(2a-x)\to -\infty }$, то есть ${\displaystyle V_{1}\to \infty }$. Примечания Акопян А.В. Геометрия в картинках. Архивировано 2 июня 2019 года. Литература Brieskorn E., Knrrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhuser, 1981. 721 p.