Чванчара — воспитанник клубов «Славия», итальянского «Эмполи» и «Яблонец» в составе последнего. 11 марта 2018 года в матче против «Баника» он дебютировал в Первой лиге[2]. Летом 2019 года Чванчара на правах аренды перешёл в «Славой Вышеград». 20 июля в матче против «Простеёва» он дебютировал во Второй лиге Чехии[3]. 28 июля в поединке против «Усти-над-Лабем» Томаш забил свой первый гол за «Славой Вышеград»[4]. По окончании аренды Чванчара вернулся в «Яблонец». 3 октября 2020 года в поединке против пражской «Спарты» Томаш забил свой первый гол за клуб[5].
В начале 2021 года Чванчара был арендован клубом «Опава». 20 января в матче против пражской «Спарты» он дебютировал за новую команду[6]. По окончании аренды Томаш вернулся в «Яблонец».
В начале 2022 года Чванчара перешёл в пражскую «Спарту». 13 февраля в матче против «Виктории Пльзень» он дебютировал за новый клуб[7]. 27 февраля в поединке против «Фастава» Томаш забил свой первый гол за «Спарту»[8]. В 2023 году он помог команде выиграть чемпионат.