Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Числа Лагранжа — это последовательность чисел, которые появляются в границах, связанных с приближением иррациональных чисел рациональными. Числа связаны с теоремой Гурвица.
Содержание
Определение
Гурвиц улучшил критерий Дирихле иррациональности до утверждения, что вещественное число иррационально тогда и только тогда, когда существует бесконечно много рациональных чисел p/q, (в несократимом виде), таких, что
У Дирихле в правой части стояло 1/q2. Вышеприведённый результат является наилучшим, поскольку золотое сечение является иррациональным, но если мы заменим 5 любым большим числом в вышеприведённом выражении, мы получим только конечное количество рациональных чисел, удовлетворяющих неравенству для = .
Гурвиц, однако, показал, что если мы исключим и производные от него числа, мы можем увеличить число 5. Фактически он показал, что мы можем заменить его на 22. Снова, это новое число является наилучшим возможным при новых условиях и на этот раз становится проблемным число 2. Если мы запрещаем 2, мы можем увеличить число в правой части неравенства с 22 до 221/5. Повторяя этот процесс, получим бесконечную последовательность 5, 22, 221/5, ..., сходящуюся к 3[1]. Эти числа называются числами Лагранжа[2] по имени французского математика Жозефа Луи Лагранжа.
Связь с числами Маркова
Число Лагранжа с номером n, Ln, задаётся формулой
- ,
где mn — n-ое число Маркова[3], являющееся наименьшим n-м целым m, таким, что уравнение
имеет решение для целых положительных чисел x и y.
Примечания
- Cassels, 1957, с. 14.
- Conway, Guy, 1996, с. 187-189.
- Cassels, 1957, с. 41.
Литература- Cassels J.W.S. An introduction to Diophantine approximation. — Cambridge University Press, 1957. — Т. 45. — (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics). — .
Ссылки
|
|