Меню Главная Случайная статья Настройки Число Лефшеца Материал из https://ru.wikipedia.org Число Лефшеца — определённая целочисленная характеристика отображения топологического пространства в себя. Содержание 1 Определение 2 Свойства 2.1 Формула Лефшеца 3 История 4 Примечания Определение Пусть ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, ${\displaystyle f:X\to X}$ — непрерывное отображение, ${\displaystyle H_{*}(X,k)}$ — группы гомологий ${\displaystyle X}$ с коэффициентами в поле ${\displaystyle k}$. Пусть ${\displaystyle t_{n}}$ — след линейного преобразования ${\displaystyle f_{*}:H_{n}(X,k)\to H_{n}(X,k)}$ По определению, число Лефшеца отображения ${\displaystyle f}$ есть ${\displaystyle \Lambda (f,X)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}t_{n}}$ Свойства Число Лефшеца определено если общий ранг групп ${\displaystyle H_{*}(X,k)}$ конечен, и в этом случае не зависит от выбора ${\displaystyle k}$. Число Лефшеца тождественного отображения равно эйлеровой характеристике ${\displaystyle X}$. Формула Лефшеца Пусть ${\displaystyle X}$ — связное ориентируемое ${\displaystyle n}$-мерное компактное топологическое многообразие или ${\displaystyle n}$-мерный конечный клеточный комплекс, ${\displaystyle f:X\to X}$ — непрерывное отображение. Предположим, что все неподвижные точки отображения ${\displaystyle f:X\to X}$ изолированы. Для каждой неподвижной точки ${\displaystyle x\in X}$, обозначим через ${\displaystyle i(x)}$ её индекс Кронекера (локальная степень отображения ${\displaystyle f}$ в окрестности точки ${\displaystyle x}$). Тогда формула Лефшеца для ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle f}$ имеет вид ${\displaystyle \sum _{\{x|f(x)=x\}}i(x)=\Lambda (f,X).}$ В частности, если отображение конечного клеточного комплекса не имеет неподвижных точек, то его число Лефшеца равно нулю. История Эта формула была установлена впервые Лефшецем для конечномерных ориентируемых топологических многообразий и позже для конечных клеточных комплексов. Этим работам Лефшеца предшествовала работа Брауэра 1911 о неподвижной точке непрерывного отображения ${\displaystyle n}$-мерной сферы в себя. Примечания