Меню

Главная
Случайная статья
Настройки
Эллиптический фильтр
Материал из https://ru.wikipedia.org

Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра, или фильтр Золотарёва) — электронный фильтр, характерной особенностью которого являются пульсации амплитудно-частотной характеристики как в полосе пропускания, так и полосе подавления. Величина пульсаций в каждой из полос независима друг от друга. Другой отличительной особенностью такого фильтра является очень крутой спад амплитудной характеристики, поэтому с помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров. При цитировании важно помнить что в западной литературе называется исключительно фильтром Кауэра, в соответствии с первенством описания в работах по теории цепей и телефонии. Золотарев, ученик Чебышева, лишь развивал его теорию и не остался в истории связи за пределами России; телефония появится лишь незадолго до его смерти. Поэтому часто применяют компромиссный термин "эллиптический" фильтр.

Если пульсации в полосе подавления равны нулю, то эллиптический фильтр становится фильтром Чебышёва I рода. Если пульсации равны нулю в полосе пропускания, то фильтр становится фильтром Чебышёва II рода. Если же пульсации отсутствуют на всей амплитудной характеристике, то фильтр становится фильтром Баттерворта.

Амплитудно-частотная характеристика эллиптического фильтра низких частот является функцией круговой частоты и задаётся следующим выражением:


где Rn — рациональная эллиптическая функция n-го порядка и
 — частота среза
 — показатель пульсаций (англ. ripple factor)
 — показатель селективности (англ. selectivity factor)


Значение показателя пульсаций определяет пульсации в полосе пропускания, пульсации же в полосе подавления зависят как от показателя пульсаций, так и от показателя селективности.

Содержание

Свойства
  • В полосе пропускания эллиптическая функция меняет значения от нуля до единицы. АЧХ в полосе пропускания, таким образом, варьирует от единицы до .
  • В полосе подавления эллиптическая функция меняет значения от бесконечности до значения , которое определяется как:
АЧХ в полосе подавления, таким образом, меняет значения от нуля до
  • Предельный случай превращает эллиптическую функцию в многочлен Чебышёва, и, таким образом, эллиптический фильтр становится фильтром Чебышёва I рода с показателем пульсаций
  • Так как фильтр Баттерворта является предельным случаем фильтра Чебышёва, то при выполнении условий и так что эллиптический фильтр становится фильтром Баттерворта.
  • Предельный случай и так что и превращает эллиптический фильтр в фильтр Чебышёва II рода с АЧХ:


Полюсы и нули

Нули модуля АЧХ совпадают с полюсами дробно-рациональной эллиптической функции.

Полюса эллиптического фильтра могут быть определены так же, как и полюса фильтра Чебышёва I рода. Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса эллиптического фильтра будут нулями знаменателя амплитудной характеристики. Используя комплексную частоту получим:


Пусть , где cd — эллиптическая косинус-функция Якоби. Тогда, используя определение эллиптической дробно-рациональной функции, получим:


где and . Разрешив относительно w


где значения обратной cd-функции сделаны явными при помощи целого индекса m.

Полюса эллиптической функции в таком случае:


Как и в случае многочленов Чебышёва, это можно выразить в явной комплексной форме [1]


где  — функция от , а и  — нули эллиптической функции. Функция определена для всех n в смысле эллиптической функции Якоби. Для порядков 1 и 2 имеем


где


Рекурсивные свойства эллиптических функций можно использовать для построения выражений более высокого порядка для :


где

Эллиптические фильтры с минимальной добротностью

См.[2] Эллиптические фильтры обычно определяются путём задания определённой величины пульсаций в полосе пропускания, полосе подавления и крутизной амплитудной характеристики. Эти характеристики являются определяющими для задания минимального порядка фильтра. Другой подход к проектирования эллиптического фильтра заключается в определении чувствительности амплитудной характеристики аналогового фильтра к значениям его электронных компонент. Эта чувствительность обратно пропорциональна специальному показателю (добротности) полюсов передаточной функции фильтра. Добротностью полюса определяется как:


и является мерой влияния данного полюса на общую амплитудную характеристику. Для эллиптического фильтра заданного порядка существует связь между показателем пульсаций и фактором селективности, который минимизирует добротность всех полюсов передаточной функции:


Это приводит к существованию фильтра, наименее чувствительного к изменению параметров компонент фильтра, однако при таком способе проектирования теряется возможность независимо назначать величину пульсаций в полосе пропускания и полосе подавления. Для таких фильтров при увеличении порядка пульсации как в полосе подавления, так и в полосе пропускания уменьшаются, а крутизна характеристики вокруг частоты среза увеличивается. При расчёте фильтра с минимальной добротностью необходимо учитывать, что порядок такого фильтра будет больше, чем при обычном методе расчёта. График модуля амплитудной характеристики будет выглядеть практически так же, как и раньше, однако полюса будут располагаться не по эллипсу, а по кругу, причём в отличие от фильтра Баттерворта, полюса которого также располагаются по кругу, расстояние между ними будет неодинаковым, а на мнимой оси будут располагаться нули.

Сравнение с другими линейными фильтрами

На рисунке представлены графики амплитудно-частотных характеристик некоторых наиболее распространённых линейных электронных фильтров 5-го порядка.

Как следует из графиков, эллиптический фильтр имеет наибольшую крутизну характеристики, однако он также обладает самыми большими пульсациями как в полосе пропускания, так и в полосе подавления.

См. также

Библиография
  • В.А. Лукас. Теория автоматического управления. — M.: Недра, 1990.


Примечания
  1. Miroslav D. Lutovac. § 12.8 // Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. — 2001.
  2. Miroslav D. Lutovac. § 12.11, § 13.14 // Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. — 2001.


Ссылки
Downgrade Counter