Меню Главная Случайная статья Настройки Эллиптический фильтр Материал из https://ru.wikipedia.org Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра, или фильтр Золотарёва) — электронный фильтр, характерной особенностью которого являются пульсации амплитудно-частотной характеристики как в полосе пропускания, так и полосе подавления. Величина пульсаций в каждой из полос независима друг от друга. Другой отличительной особенностью такого фильтра является очень крутой спад амплитудной характеристики, поэтому с помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров. При цитировании важно помнить что в западной литературе называется исключительно фильтром Кауэра, в соответствии с первенством описания в работах по теории цепей и телефонии. Золотарев, ученик Чебышева, лишь развивал его теорию и не остался в истории связи за пределами России; телефония появится лишь незадолго до его смерти. Поэтому часто применяют компромиссный термин "эллиптический" фильтр. Если пульсации в полосе подавления равны нулю, то эллиптический фильтр становится фильтром Чебышёва I рода. Если пульсации равны нулю в полосе пропускания, то фильтр становится фильтром Чебышёва II рода. Если же пульсации отсутствуют на всей амплитудной характеристике, то фильтр становится фильтром Баттерворта. Амплитудно-частотная характеристика эллиптического фильтра низких частот является функцией круговой частоты и задаётся следующим выражением: ${\displaystyle G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0})}}}}$ где Rn — рациональная эллиптическая функция n-го порядка и ${\displaystyle \omega _{0}}$ — частота среза ${\displaystyle \epsilon }$ — показатель пульсаций (англ. ripple factor) ${\displaystyle \xi }$ — показатель селективности (англ. selectivity factor) Значение показателя пульсаций определяет пульсации в полосе пропускания, пульсации же в полосе подавления зависят как от показателя пульсаций, так и от показателя селективности. Содержание 1 Свойства 2 Полюсы и нули 3 Эллиптические фильтры с минимальной добротностью 4 Сравнение с другими линейными фильтрами 5 См. также 6 Библиография 7 Примечания 8 Ссылки Свойства В полосе пропускания эллиптическая функция меняет значения от нуля до единицы. АЧХ в полосе пропускания, таким образом, варьирует от единицы до ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}$. В полосе подавления эллиптическая функция меняет значения от бесконечности до значения ${\displaystyle L_{n}}$, которое определяется как: ${\displaystyle L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi ).}$ АЧХ в полосе подавления, таким образом, меняет значения от нуля до ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2}}}.}$ Предельный случай ${\displaystyle \xi \rightarrow \infty }$ превращает эллиптическую функцию в многочлен Чебышёва, и, таким образом, эллиптический фильтр становится фильтром Чебышёва I рода с показателем пульсаций ${\displaystyle \varepsilon .}$ Так как фильтр Баттерворта является предельным случаем фильтра Чебышёва, то при выполнении условий ${\displaystyle \xi \rightarrow \infty ,}$ ${\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$ и ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ так что ${\displaystyle \epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1}$ эллиптический фильтр становится фильтром Баттерворта. Предельный случай ${\displaystyle \xi \rightarrow \infty ,}$ ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$ и ${\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$ так что ${\displaystyle \xi \omega _{0}=1}$ и ${\displaystyle \epsilon L_{n}=\alpha }$ превращает эллиптический фильтр в фильтр Чебышёва II рода с АЧХ: ${\displaystyle G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega )}}}}}.}$ Полюсы и нули Нули модуля АЧХ совпадают с полюсами дробно-рациональной эллиптической функции. Полюса эллиптического фильтра могут быть определены так же, как и полюса фильтра Чебышёва I рода. Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса ${\displaystyle (\omega _{pm})}$ эллиптического фильтра будут нулями знаменателя амплитудной характеристики. Используя комплексную частоту ${\displaystyle s=\sigma +j\omega ,}$ получим: ${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0}$ Пусть ${\displaystyle -js=\mathrm {cd} (w,1/\xi )}$, где cd — эллиптическая косинус-функция Якоби. Тогда, используя определение эллиптической дробно-рациональной функции, получим: ${\displaystyle 1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n}}{K}},{\frac {1}{L_{n}}}\right)=0}$ где ${\displaystyle K=K(1/\xi )}$ and ${\displaystyle K_{n}=K(1/L_{n})}$. Разрешив относительно w ${\displaystyle w={\frac {K}{nK_{n}}}\mathrm {cd} ^{-1}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }},{\frac {1}{L_{n}}}\right)+{\frac {mK}{n}},}$ где значения обратной cd-функции сделаны явными при помощи целого индекса m. Полюса эллиптической функции в таком случае: ${\displaystyle s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi ).}$ Как и в случае многочленов Чебышёва, это можно выразить в явной комплексной форме [1] ${\displaystyle s_{pm}={\frac {a+jb}{c}},}$ ${\displaystyle a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}/\xi ^{2}}},}$ ${\displaystyle b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}},}$ ${\displaystyle c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2},}$ где ${\displaystyle \zeta _{n}}$ — функция от ${\displaystyle n,\,\epsilon }$, а ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle x_{m}}$ — нули эллиптической функции. Функция ${\displaystyle \zeta _{n}}$ определена для всех n в смысле эллиптической функции Якоби. Для порядков 1 и 2 имеем ${\displaystyle \zeta _{1}={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}},}$ ${\displaystyle \zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}},}$ где ${\displaystyle t={\frac {1}{\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}}.}$ Рекурсивные свойства эллиптических функций можно использовать для построения выражений более высокого порядка для ${\displaystyle \zeta _{n}}$: ${\displaystyle \zeta _{m\cdot n}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt {{\frac {1}{\zeta _{n}^{2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\right),}$ где ${\displaystyle L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi ).}$ Эллиптические фильтры с минимальной добротностью См.[2] Эллиптические фильтры обычно определяются путём задания определённой величины пульсаций в полосе пропускания, полосе подавления и крутизной амплитудной характеристики. Эти характеристики являются определяющими для задания минимального порядка фильтра. Другой подход к проектирования эллиптического фильтра заключается в определении чувствительности амплитудной характеристики аналогового фильтра к значениям его электронных компонент. Эта чувствительность обратно пропорциональна специальному показателю (добротности) полюсов передаточной функции фильтра. Добротностью полюса определяется как: ${\displaystyle Q=-{\frac {|s_{pm}|}{2\mathrm {Re} (s_{pm})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}}}$ и является мерой влияния данного полюса на общую амплитудную характеристику. Для эллиптического фильтра заданного порядка существует связь между показателем пульсаций и фактором селективности, который минимизирует добротность всех полюсов передаточной функции: ${\displaystyle \epsilon _{Qmin}={\frac {1}{\sqrt {L_{n}(\xi )}}}}$ Это приводит к существованию фильтра, наименее чувствительного к изменению параметров компонент фильтра, однако при таком способе проектирования теряется возможность независимо назначать величину пульсаций в полосе пропускания и полосе подавления. Для таких фильтров при увеличении порядка пульсации как в полосе подавления, так и в полосе пропускания уменьшаются, а крутизна характеристики вокруг частоты среза увеличивается. При расчёте фильтра с минимальной добротностью необходимо учитывать, что порядок такого фильтра будет больше, чем при обычном методе расчёта. График модуля амплитудной характеристики будет выглядеть практически так же, как и раньше, однако полюса будут располагаться не по эллипсу, а по кругу, причём в отличие от фильтра Баттерворта, полюса которого также располагаются по кругу, расстояние между ними будет неодинаковым, а на мнимой оси будут располагаться нули. Сравнение с другими линейными фильтрами На рисунке представлены графики амплитудно-частотных характеристик некоторых наиболее распространённых линейных электронных фильтров 5-го порядка. Как следует из графиков, эллиптический фильтр имеет наибольшую крутизну характеристики, однако он также обладает самыми большими пульсациями как в полосе пропускания, так и в полосе подавления. См. также Цифровая обработка сигналов Цифровая обработка изображений Электронный фильтр Решётчатый фильтр БИХ-фильтр Библиография В.А. Лукас. Теория автоматического управления. — M.: Недра, 1990. Примечания Miroslav D. Lutovac. § 12.8 // Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. — 2001. Miroslav D. Lutovac. § 12.11, § 13.14 // Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. — 2001. Ссылки Расчет эллиптического фильтра с примерами Фильтры нижних частот Расчёт рекурсивных фильтров Сравнение линейных фильтров (англ.)