Меню Главная Случайная статья Настройки Ядро интегрального оператора Материал из https://ru.wikipedia.org Ядром интегрального оператора (ядро Фредгольма[1]) называется функция двух аргументов ${\displaystyle K(x,\;y)}$, определяющая некий интегральный оператор ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ равенством ${\displaystyle \varphi (y)={\mathcal {A}}[\varphi (x)]=\int K(x,\;y)\varphi (x)\,d\mu (x),}$ где ${\displaystyle x\in \mathbb {X} }$ — пространство с мерой ${\displaystyle d\mu (x)}$, а ${\displaystyle \varphi (x)}$ принадлежит некоторому пространству функций, определённых на ${\displaystyle \mathbb {X} }$. Содержание 1 Примеры 2 Связанные определения 3 Теорема Мерсера 4 Литература 5 Примечания Примеры Ядро ${\displaystyle K(x,\;y)}$ называется ${\displaystyle L_{2}}$-ядром, если оно удовлетворяет условию: ${\displaystyle \int \limits _{D}\int \limits _{D}|K(x,\;y)|^{2}\,dx\,dy<+\infty ,}$ где ${\displaystyle K(x,\;y)}$ — измеримая на ${\displaystyle D}$ функция. Такие ядра являются основным предметом рассмотрения теории интегральных уравнений. Ядро, удовлетворяющее условию: ${\displaystyle K(x,\;y)\equiv 0}$ при ${\displaystyle y>x}$ называется ядром Вольтерры. Симметричное ядро — ядро, для которого выполняется тождество ${\displaystyle K(x,\;y)=K(y,\;x)}$. Если выполняется тождество ${\displaystyle K(x,\;y)={\overline {K(y,\;x)}}}$, где ${\displaystyle {\overline {K(y,\;x)}}}$ — комплексно сопряжённое к ${\displaystyle K(x,\;y)}$, то такое ядро называется эрмитовым. Если ядро ${\displaystyle K(x,\;y)}$ допускает разложение вида: ${\displaystyle K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{n}X_{k}(x)Y_{k}(y),}$ где ${\displaystyle \{X_{i}(x)\},\;\{Y_{i}(y)\}}$ ${\displaystyle (i=1,\;2,\;\ldots ,\;n)}$ — две системы линейно независимых интегрируемых с квадратом функций (${\displaystyle L_{2}}$-функций), такое ядро называется ядром Пинкерле — Гурса, или PG-ядром. Связанные определения Спектром ядра называется множество его собственных значений. Теорема Мерсера Теорема Мерсера[англ.] о разложении ядра гласит: Если симметричное ${\displaystyle L_{2}}$-ядро ${\displaystyle K(x,\;y)}$ непрерывно и обладает лишь положительными собственными значениями (или самое большее конечным числом отрицательных собственных значений) ${\displaystyle \lambda _{k}}$, то справедливо представление: ${\displaystyle K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\varphi _{k}(x)\varphi _{k}(y)}{\lambda _{k}}},}$ где ${\displaystyle \{\varphi _{k}(x)\}}$ — ортогональная система ${\displaystyle L_{2}}$-функций. При этом ряд сходится абсолютно и равномерно. Литература Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. — 300 с. Примечания