Меню Главная Случайная статья Настройки Интегральный оператор Фредгольма Материал из https://ru.wikipedia.org Интегральный оператор Фредгольма — вполне непрерывный линейный интегральный оператор вида ${\displaystyle (Af)(x)=\int _{G}K(x,t)f(t)\,dt,}$ отображающий одно пространство функций в другое. Здесь ${\displaystyle G}$ — область в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle K(x,t)}$ — функция, заданная на декартовом квадрате ${\displaystyle G\times G}$, называемая ядром интегрального оператора[1]. Для вполне непрерывности оператора ${\displaystyle A}$ на ядро ${\displaystyle K(x,y)}$ накладываются дополнительные ограничения. Чаще всего рассматривают непрерывные ядра[2], ${\displaystyle L_{2}}$-ядра[3][4], а также полярные ядра[2][5]. Интегральный оператор Фредгольма и его свойства используются при решении интегрального уравнения Фредгольма. Содержание 1 Свойства 1.1 Линейность 1.2 Непрерывность 1.3 Вполне непрерывность 2 Сопряжённый оператор 3 Обратный оператор 4 См. также 5 Примечания 6 Литература Свойства Линейность Интегральный оператор Фредгольма является линейным, то есть ${\displaystyle A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag}$. Непрерывность Интегральный оператор с непрерывным на ${\displaystyle {\bar {G}}\times {\bar {G}}}$[6] ядром ${\displaystyle K(x,y)}$, переводит ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ (и, следовательно, ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ и ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle L_{2}(G)}$) и ограничен (непрерывен), причём ${\displaystyle \|Af\|_{C}\leq M{\sqrt {V}}\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),}$ ${\displaystyle \|Af\|_{C}\leq MV\|f\|_{C},\quad f\in C({\bar {G}}),}$ ${\displaystyle \|Af\|_{L_{2}}\leq MV\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),}$ где ${\displaystyle M=\max \limits _{x\in {\bar {G}},\,y\in {\bar {G}}}|K(x,y)|,\quad V=\int _{G}dy.}$[7]. Интегральный оператор с ${\displaystyle L_{2}}$-ядром: ${\displaystyle \int _{G}\int _{G}|K(x,y)|^{2}dx\,dy\leq N^{2}<\infty }$ переводит ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle L_{2}(G)}$, непрерывен и удовлетворяет оценке: ${\displaystyle \|Af\|_{L_{2}}\leq N\|f\|_{L_{2}}.}$[1][8] Существуют условия непрерывности интегральных операторов из ${\displaystyle L_{p}}$ в ${\displaystyle L_{q}}$.[9] Вполне непрерывность Интегральный оператор с непрерывным ядром ${\displaystyle K(x,y)}$ является вполне непрерывным из ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$, то есть переводит любое множество, ограниченное в ${\displaystyle L_{2}(G)}$, в множество, предкомпактное в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$[10]. Вполне непрерывные операторы замечательны тем, что для них справедлива альтернатива Фредгольма. Интегральный оператор с непрерывным ядром является пределом последовательности конечномерных операторов с вырожденными ядрами. Аналогичные утверждения справедливы для интегрального оператора с ${\displaystyle L_{2}}$-ядром.[11] Существуют также более слабые достаточные условия вполне непрерывности (компактности) интегрального оператора из ${\displaystyle L_{p}}$ в ${\displaystyle L_{q}}$.[12] Сопряжённый оператор Сопряжённый оператор к оператору ${\displaystyle A}$ с ${\displaystyle L_{2}}$-ядром в гильбертовом пространстве ${\displaystyle L_{2}(G)}$ имеет вид ${\displaystyle (A^{*}f)(x)=\int _{G}{\overline {K(y,x)}}f(y)\,dy.}$ Если ${\displaystyle K(x,y)={\overline {K(y,x)}}}$, то интегральный оператор Фредгольма ${\displaystyle A}$ является самосопряжённым[1][11] Обратный оператор При достаточно малых значениях ${\displaystyle |\lambda |}$ оператор ${\displaystyle I-\lambda A}$ (где ${\displaystyle I}$ — единичный оператор) имеет обратный вида ${\displaystyle I+\lambda R}$, где ${\displaystyle R}$ — интегральный оператор Фредгольма с ядром ${\displaystyle R(x,y,\lambda )}$ — резольвентой ядра ${\displaystyle K(x,y)}$[13]. См. также Интегральное уравнение Фредгольма Ядро интегрального уравнения Теория Фредгольма Альтернатива Фредгольма Компактный оператор Примечания 1 2 3 Хведелидзе, 1979. 1 2 Владимиров, 1981, глава IV. Трикоми, 1960. Колмогоров, Фомин, 1976, глава IX. Манжиров, Полянин, 2000. ${\displaystyle {\bar {G}}}$ — замыкание области ${\displaystyle G}$ Владимиров, 1981, с. 272. Трикоми, 1960, § 1.6. Манжиров, Полянин, 2000, § 9.3-1. Владимиров, 1981, § 19. 1 2 Колмогоров, Фомин, 1976, глава IX, § 2. Манжиров, Полянин, 2000, § 9.3-2. Владимиров, 1981, § 17. Литература Хведелидзе Б. В. . Интегральный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — 1104 стб. : ил. — 148 800 экз.