Меню Главная Случайная статья Настройки Многочлены Якоби Материал из https://ru.wikipedia.org Многочлены Якоби (или полиномы Якоби) — класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби. Содержание 1 Определение 2 Производные 3 Примечания 4 Литература Определение Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечные[1]: ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,\;1+\alpha +\beta +n;\;\alpha +1;\;{\frac {1-z}{2}}\right),}$ где ${\displaystyle (\alpha +1)_{n}}$ является символом Похгаммера (для растущего факториала), и, таким образом, выводится выражение ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}$ Откуда одно из конечных значений следующее ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}$ Для целых ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},}$ где ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — обычная гамма-функция, и ${\displaystyle {z \choose n}=0\quad {\text{для}}\quad n<0.}$ Эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности ${\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},}$ для ${\displaystyle \alpha >-1}$ и ${\displaystyle \beta >-1}$. Существует отношение симметрии для полиномов Якоби. ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\;\alpha )}(z);}$ а потому ещё одно значение полиномов: ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}$ Для действительного ${\displaystyle x}$ полином Якоби может быть записан следующим образом. ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s},}$ где ${\displaystyle s\geqslant 0}$ и ${\displaystyle n-s\geqslant 0}$. В особом случае, когда ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n+\alpha }$, ${\displaystyle n+\beta }$ и ${\displaystyle n+\alpha +\beta }$ — неотрицательные целые, полином Якоби может принимать следующий вид ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}$ Сумма берется по всем целым значениям ${\displaystyle s}$, для которых множители являются неотъемлемыми. Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера ${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\varphi )}$ (${\displaystyle 0\leqslant \varphi \leqslant 4\pi }$) в терминах полиномов Якоби ${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\varphi )=\xi _{m'm}\left[{\frac {(s)!(s+\mu +\nu )!}{(s+\mu )!(s+\nu )!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\mu }\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\nu }P_{s}^{(\mu ,\;\nu )}(\cos \varphi )}$,[2] где ${\displaystyle \mu =|m-m'|,\nu =|m+m'|,s=j-{\frac {1}{2}}(\mu +\nu )}$ Величина ${\displaystyle \xi _{m'm}}$ определяется формулой ${\displaystyle \xi _{m'm}={\begin{cases}1,&{\text{if }}m\geq m'\\(-1)^{m'-m},&{\text{if }}m<m'\end{cases}}}$ Производные ${\displaystyle k}$-я производная явного выражения приводит к ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\;\beta +k)}(z).}$ Примечания Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22» Архивная копия от 17 августа 2005 на Wayback Machine, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 561, ISBN 978-0-486-61272-0, MR0167642 Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — 1975. Литература