Байрам Яшаница начинал свою профессиональную карьеру футболиста в 2009 году в команде «Хюси», выступавшей в косовской Суперлиге. В марте 2013 года он был на просмотре в немецком «Франкфурте»[2].
Перед стартом сезона 2013/14 Яшаница перешёл в клуб албанской Суперлиги «Скендербеу», и через несколько дней был отдан в аренду в другую команду лиги «Беса». В ней он дебютировал 20 октября 2013 года в гостевом матче против «Кукеси», выйдя на замену на 74-й минуте[3]. По окончании сезона он вернулся в «Скендербеу».
Яшаница провёл 5 игр «Скендербеу» в групповом этапе Лиги Европы УЕФА 2015/2016. А также стал автором гола престижа в гостевом поединке против лиссабонского «Спортинга», забив головой после подачи углового на 89-й минуте[4].
