Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Примеры k-однородных мозаик
1-однородная (правильная)
|
1-однородная (полуправильная)
|
2-однородная мозаика
|
3-однородная мозаика
| k-Однородные мозаики — это замощение плоскости выпуклыми правильными многоугольниками,
соединёнными ребро-к-ребру и имеющими k типов вершин.
1-Однородные мозаики включают 3 правильные мозаики и 8 полуправильных мозаик.
1-Однородные мозаики могут определены их вершинными конфигурациями.
Более высокие k-однородные мозаики перечислены по их вершинным фигурам, но они, в общем случае, не определяются уникально таким образом.
Полные списки k-однородных мозаик известны вплоть до k=6.
Существует 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородная мозаика, 151 4-однородная мозаика, 332 5-однородные мозаики и 673 6-однородные мозаики.
Данная статья приводит все решения вплоть до k=5.
Другие замощения правильными многоугольниками не ребро-к-ребру
позволяют использование многоугольников других размеров и сдвиг места контакта.
Содержание
Классификация
3-однородная мозаика №57 (из списка 61 мозаики)
Раскраска по числу сторон - жёлтые треугольники, красные квадраты (по многоугольникам)
|
Раскраска по 4-изоэдральным позициям, 3 цвета треугольников (по орбитам)
|
Такие периодические замощения выпуклыми многоугольниками можно классифицировать по числу орбит вершин, рёбер и плиток.
Если имеется k орбит вершин, мозаика считается
k-однородные мозаики с одинаковой вершинно фигурой можно далее идентифицировать по их симметрии группы орнамента.
Перечисление
1-однородные мозаики вклюяает 3 правильные мозаики и 8 полуправильных с 2 и более типами правильных граней.
Имеется 20 2-однородных мозаик, 61 3-однородная мозаика, 151 4-однородная мозаика, 332 5-однородные мозаики и 673 6-однородные мозаики.
Мозаики можно сгруппировать по числу m различных вершинных фигур, они называются также m-архимедовыми мозаиками[1].
Наконец, если число типов верши равно однородности (m = k ниже), то говорят, что это мозаика Кротенхирдта.
В общем случае однородность больше либо равна числу типов вершин (m k), поскольку различные типы вершин обязательно имеют различные орбиты,
что в обратную сторону не выполняется.
Если положить m = n = k, имеется 11 таких мозаик для n = 1; 20 для n = 2; 39 для n = 3; 33 для n = 4; 15 для n = 5; 10 для n = 6
и 7 таких мозаик для n = 7.
число k-однородных, m-архимедовых мозаик[2]
|
m-архимедовы
|
| 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
Всего
|
| k-однородные
|
1
|
11 |
0
|
11
|
| 2
|
0 |
20 |
0
|
20
|
| 3
|
0 |
22 |
39 |
0
|
61
|
| 4
|
0 |
33 |
85 |
33 |
0
|
151
|
| 5
|
0 |
74 |
149 |
94 |
15 |
0
|
332
|
| 6
|
0 |
100 |
284 |
187 |
92 |
10 |
0
|
673
|
| 7
|
0 |
? |
? |
? |
? |
? |
7 |
0
|
?
|
| 8
|
0 |
? |
? |
? |
? |
? |
20 |
0 |
0
|
?
|
| 9
|
0 |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
8 |
0 |
0
|
?
|
| 10
|
0 |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
27 |
0 |
0 |
0
|
?
|
| 11
|
0 |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
1 |
0 |
0 |
0
|
?
|
| 12
|
0 |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
0 |
0 |
0 |
0
|
?
|
| 13
|
0 |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
0 |
0
|
?
|
| 14
|
0 |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
0 |
0
|
?
|
| 15
|
0 |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
0
|
?
|
| Всего
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
|
1-однородные мозаики (правильные)
Говорят, что мозаика правильная, если группа симметрии мозаики действует транзитивно
на флаги мозаики, где флаг — это тройка, состоящая из взаимно инцидентных вершины,
ребра и грани.
Это означает, что для каждой пары флагов существует операция симметрии, переводящая первый флаг во второй.
Это эквивалентно тому, что мозаика состоит из соединённых ребро-к-ребру конгруэнтных правильных многоугольников.
Должно быть шесть правильных треугольников, четыре квадрата или три правильных шестиугольника в вершине,
в результате получаем три правильных мозаики.
Правильные мозаики (3)
| p6m, *632
|
p4m, *442
|
|
|
|
|
36
(t=1, e=1)
|
63
(t=1, e=1)
|
44
(t=1, e=1)
|
m-Архимедовы и k-однородные мозаики
Вершинная транзитивность означает, что для любой пары вершин имеется операция симметрии[англ.],
переводящая первую вершину во вторую[3].
Если требование транзитивности флагов ослаблено до требования транзитивности вершин при сохранении соединения многоугольников ребро-к-ребру,
имеется восемь дополнительных мозаик, известных как архимедовыили однородные.
Заметим, что имеется два зеркальных отражения (энантиоморфный или хиральный),
образующих 34.6 (плосконосую шестиугольную) мозаику,
только одна из которых показана в следующей таблице. Все другие правильные и полуправильные мозаики ахиральны.
Грюнбаум и Шепард примененяют термин архимедова для этих мозаик как ссылку на локальность свойства расположения плиток вокруг вершины,
а термин однородная как ссылку на глобальность свойства транзитивности вершин.
Хотя на плоскости это приводит к одному и тому же множеству мозаик, в других пространствах есть архимедовы мозаики, не являющиеся однородными.
1-однородные мозаики (полуправильные)
2-однородные мозаики
Имеется двадцать (20) 2-однородных мозаик на евклидовой плоскости
(называемых также 2-вершинно транзитивными мозаиками)[4][5][6]
Типы вершин указаны для каждой мозаики. Если две мозаики имеет два одинаковых типа вершин, добавляются индексы 1,2.
2-однородные мозаики (20)
| p6m, *632 |
p4m, *442
|
[36; 32.4.3.4
(t=3, e=3)
|
[3.4.6.4; 32.4.3.4]
(t=4, e=4)
|
[3.4.6.4; 33.42]
(t=4, e=4)
|
[3.4.6.4; 3.42.6]
(t=5, e=5)
|
[4.6.12; 3.4.6.4][англ.]
(t=4, e=4)
|
[36; 32.4.12]
(t=4, e=4)
|
[3.12.12; 3.4.3.12][англ.]
(t=3, e=3)
|
| p6m, *632 |
p6, 632 |
p6, 632 |
cmm, 2*22 |
pmm, *2222 |
cmm, 2*22 |
pmm, *2222
|
[36; 32.62]
(t=2, e=3)
|
[36; 34.6]1
(t=3, e=3)
|
[36; 34.6]2
(t=5, e=7)
|
[32.62; 34.6]
(t=2, e=4)
|
[3.6.3.6; 32.62]
(t=2, e=3)
|
[3.42.6; 3.6.3.6]2
(t=3, e=4)
|
[3.42.6; 3.6.3.6]1
(t=4, e=4)
|
| p4g, 4*2 |
pgg, 22 |
cmm, 2*22 |
cmm, 2*22 |
pmm, *2222 |
cmm, 2*22
|
[33.42; 32.4.3.4]1[англ.]
(t=4, e=5)
|
[33.42; 32.4.3.4]2[англ.]
(t=3, e=6)
|
[44; 33.42]1
(t=2, e=4)
|
[44; 33.42]2
(t=3, e=5)
|
[36; 33.42]1
(t=3, e=4)
|
[36; 33.42]2
(t=4, e=5)
|
3-однородные мозаики
Имеется 61 3-однородная мозаика на евклидовой плоскости. 39 мозаик являются 3-архимедовы с 3 различными типами вершин, в то время как 22 имеют 2 идентичных типа вершин с различными орбитами симметрии[7].
3-однородные мозаики c 3 типами вершин (39)
[3.426; 3.6.3.6; 4.6.12]
(t=6, e=7)
|
[36; 324.12; 4.6.12]
(t=5, e=6)
|
[324.12; 3.4.6.4; 3.122]
(t=5, e=6)
|
[3.4.3.12; 3.4.6.4; 3.122]
(t=5, e=6)
|
[3342; 324.12; 3.4.6.4]
(t=6, e=8)
|
[36; 3342; 324.12]
(t=6, e=7)
|
[36; 324.3.4; 324.12]
(t=5, e=6)
|
[346; 3342; 324.3.4]
(t=5, e=6)
|
[36; 324.3.4; 3.426]
(t=5, e=6)
|
[36; 324.3.4; 3.4.6.4]
(t=5, e=6)
|
[36; 3342; 3.4.6.4]
(t=6, e=6)
|
[36; 324.3.4; 3.4.6.4]
(t=6, e=6)
|
[36; 3342; 324.3.4]
(t=4, e=5)
|
[324.12; 3.4.3.12; 3.122]
(t=4, e=7)
|
[3.4.6.4; 3.426; 44]
(t=3, e=4)
|
[324.3.4; 3.4.6.4; 3.426]
(t=4, e=6)
|
[3342; 324.3.4; 44]
(t=4, e=6)
|
[3.426; 3.6.3.6; 44]
(t=5, e=7)
|
[3.426; 3.6.3.6; 44]
(t=6, e=7)
|
[3.426; 3.6.3.6; 44]
(t=4, e=5)
|
[3.426; 3.6.3.6; 44]
(t=4, e=6)
|
[3342; 3262; 3.426]
(t=5, e=8)
|
[3262; 3.426; 3.6.3.6]
(t=4, e=7)
|
[3262; 3.426; 3.6.3.6]
(t=5, e=7)
|
[346; 3342; 3.426]
(t=5, e=7)
|
[3262; 3.6.3.6; 63]
(t=4, e=5)
|
[3262; 3.6.3.6; 63]
(t=2, e=4)
|
[346; 3262; 63]
(t=2, e=5)
|
[36; 3262; 63]
(t=2, e=3)
|
[36; 346; 3262]
(t=5, e=8)
|
[36; 346; 3262]
(t=3, e=5)
|
[36; 346; 3262]
(t=3, e=6)
|
[36; 346; 3.6.3.6]
(t=5, e=6)
|
[36; 346; 3.6.3.6]
(t=4, e=4)
|
[36; 346; 3.6.3.6]
(t=3, e=3)
|
[36; 3342; 44]
(t=4, e=6)
|
[36; 3342; 44]
(t=5, e=7)
|
[36; 3342; 44]
(t=3, e=5)
|
[36; 3342; 44]
(t=4, e=6)
|
3-однородные мозаики (2:1) (22)
[(3.4.6.4)2; 3.426]
(t=6, e=6)
|
[(36)2; 346]
(t=3, e=4)
|
[(36)2; 346]
(t=5, e=5)
|
[(36)2; 346]
(t=7, e=9)
|
[36; (346)2]
(t=4, e=6)
|
[36; (324.3.4)2]
(t=4, e=5)
|
[(3.426)2; 3.6.3.6]
(t=6, e=8)
|
[3.426; (3.6.3.6)2]
(t=4, e=6)
|
[3.426; (3.6.3.6)2]
(t=5, e=6)
|
[3262; (3.6.3.6)2]
(t=3, e=5)
|
[(346)2; 3.6.3.6]
(t=4, e=7)
|
[(346)2; 3.6.3.6]
(t=4, e=7)
|
[3342; (44)2]
(t=4, e=7)
|
[(3342)2; 44]
(t=5, e=7)
|
[3342; (44)2]
(t=3, e=6)
|
[(3342)2; 44]
(t=4, e=6)
|
[(3342)2; 324.3.4]
(t=5, e=8)
|
[3342; (324.3.4)2]
(t=6, e=9)
|
[36; (3342)2]
(t=5, e=7)
|
[36; (3342)2]
(t=4, e=6)
|
[(36)2; 3342]
(t=6, e=7)
|
[(36)2; 3342]
(t=5, e=6)
|
4-однородные мозаики
Имеется 151 4-однородные мозаики на евклидовой плоскости.
Поиск, проведённый Брайаном Галебахом, воспроизвёл список Кротенхирдта из 33 4-однородных мозаик с 4 различными типами вершин,
как и списки 85 мозаик с 3 типами вершин и 33 с 2 типами вершин.
Имеется 33 мозаики с 4 типами вершин.
4-однородные мозаики с 4 типами вершин (33)
[33434; 3262; 3446; 63]
|
[3342; 3262; 3446; 46.12]
|
[33434; 3262; 3446; 46.12]
|
[36; 3342; 33434; 334.12]
|
[36; 33434; 334.12; 3.122]
|
[36; 33434; 343.12; 3.122]
|
[36; 3342; 33434; 3464]
|
[36; 3342; 33434; 3464]
|
[36; 33434; 3464; 3446]
|
[346; 3262; 3636; 63]
|
[346; 3262; 3636; 63]
|
[334.12; 343.12; 3464; 46.12]
|
[3342; 334.12; 343.12; 3.122]
|
[3342; 334.12; 343.12; 44]
|
[3342; 334.12; 343.12; 3.122]
|
[36; 3342; 33434; 44]
|
[33434; 3262; 3464; 3446]
|
[36; 3342; 3446; 3636]
|
[36; 346; 3446; 3636]
|
[36; 346; 3446; 3636]
|
[36; 346; 3342; 3446]
|
[36; 346; 3342; 3446]
|
[36; 346; 3262; 63]
|
[36; 346; 3262; 63]
|
[36; 346; 3262; 63]
|
[36; 346; 3262; 63]
|
[36; 346; 3262; 3636]
|
[3342; 3262; 3446; 63]
|
[3342; 3262; 3446; 63]
|
[3262; 3446; 3636; 44]
|
[3262; 3446; 3636; 44]
|
[3262; 3446; 3636; 44]
|
[3262; 3446; 3636; 44]
|
Имеется 85 мозаик с 3 типами вершин.
4-однородные мозаики (2:1:1)
[3464; (3446)2; 46.12]
|
[3464; 3446; (46.12)2]
|
[334.12; 3464; (3.122)2]
|
[343.12; 3464; (3.122)2]
|
[33434; 343.12; (3464)2]
|
[(36)2; 3342; 334.12]
|
[(3464)2; 3446; 3636]
|
[3464; 3446; (3636)2]
|
[3464; (3446)2; 3636]
|
[(36)2; 3342; 33434]
|
[(36)2; 3342; 33434]
|
[36; 3262; (63)2]
|
[36; 3262; (63)2]
|
[36; (3262)2; 63]
|
[36; (3262)2; 63]
|
[36; 3262; (63)2]
|
[36; 3262; (63)2]
|
[36; (346)2; 3262]
|
[36; (3262)2; 3636]
|
[(346)2; 3262; 63]
|
[(346)2; 3262; 63]
|
[346; 3262; (3636)2]
|
[346; 3262; (3636)2]
|
[3342; 33434; (3464)2]
|
[36; 33434; (3464)2]
|
[36; (33434)2; 3464]
|
[36; (3342)2; 3464]
|
[(3464)2; 3446; 3636]
|
[346; (33434)2; 3446]
|
[36; 3342; (33434)2]
|
[36; 3342; (33434)2]
|
[(3342)2; 33434; 44]
|
[(3342)2; 33434; 44]
|
[3464; (3446)2; 44]
|
[33434; (334.12)2; 343.12]
|
[36; (3262)2; 63]
|
[36; (3262)2; 63]
|
[36; 346; (3262)2]
|
[(36)2; 346; 3262]
|
[(36)2; 346; 3262]
|
[(36)2; 346; 3636]
|
[346; (3262)2; 3636]
|
[346; (3262)2; 3636]
|
[(346)2; 3262; 3636]
|
[(346)2; 3262; 3636]
|
[36; 346; (3636)2]
|
[3262; (3636)2; 63]
|
[3262; (3636)2; 63]
|
[(3262)2; 3636; 63]
|
[3262; 3636; (63)2]
|
[346; 3262; (63)2]
|
[346; (3262)2; 3636]
|
[3262; 3446; (3636)2]
|
[3262; 3446; (3636)2]
|
[346; (3342)2; 3636]
|
[346; (3342)2; 3636]
|
[346; 3342; (3446)2]
|
[3446; 3636; (44)2]
|
[3446; 3636; (44)2]
|
[3446; 3636; (44)2]
|
[3446; 3636; (44)2]
|
[(3446)2; 3636; 44]
|
[(3446)2; 3636; 44]
|
[(3446)2; 3636; 44]
|
[(3446)2; 3636; 44]
|
[(3446)2; 3636; 44]
|
[(3446)2; 3636; 44]
|
[(3446)2; 3636; 44]
|
[(3446)2; 3636; 44]
|
[3446; (3636)2; 44]
|
[3446; (3636)2; 44]
|
[3446; (3636)2; 44]
|
[3446; (3636)2; 44]
|
[36; 3342; (44)2]
|
[36; 3342; (44)2]
|
[36; (3342)2; 44]
|
[36; 3342; (44)2]
|
[36; 3342; (44)2]
|
[36; (3342)2; 44]
|
[36; (3342)2; 44]
|
[36; (3342)2; 44]
|
[(36)2; 3342; 44]
|
[(36)2; 3342; 44]
|
[(36)2; 3342; 44]
|
[(36)2; 3342; 44]
|
Имеется 33 мозаики с 2 типами вершин, 12 с двумя парами типов и 21 с отношением типов 3:1.
4-однородные мозаики (2:2)
[(3464)2; (46.12)2]
|
[(33434)2; (3464)2]
|
[(33434)2; (3464)2]
|
[(346)2; (3636)2]
|
[(36)2; (346)2]
|
[(3342)2; (33434)2]
|
[(3342)2; (44)2]
|
[(3342)2; (44)2]
|
[(3342)2; (44)2]
|
[(36)2; (3342)2]
|
[(36)2; (3342)2]
|
[(36)2; (3342)2]
|
4-однородные мозаики (3:1)
[343.12; (3.122)3]
|
[(346)3; 3636]
|
[36; (346)3]
|
[(36)3; 346]
|
[(36)3; 346]
|
[(3342)3; 33434]
|
[3342; (33434)3]
|
[3446; (3636)3]
|
[3446; (3636)3]
|
[3262; (3636)3]
|
[3262; (3636)3]
|
[3342; (44)3]
|
[3342; (44)3]
|
[(3342)3; 44]
|
[(3342)3; 44]
|
[(3342)3; 44]
|
[36; (3342)3]
|
[36; (3342)3]
|
[36; (3342)3]
|
[(36)3; 3342]
|
[(36)3; 3342]
|
5-однородные мозаики
Имеется 332 5-однородные мозаики на евклидовой плоскости.
Поиск, проведённый Брайаном Галебахом, воспроизвёл список Кротенхирдта из 332 5-однородных мозаик с типами вершин от 2 до 5.
Имеется 74 мозаики с 2 типами вершин, 149 мозаик с 3 типами вершин, 94 мозаик с 4 типами вершин и 15 с 5 типами.
Имеется 15 5-однородных мозаик с 5 типами вершинных фигур.
5-однородные мозаики, 5 types
[33434; 3262; 3464; 3446; 63]
|
[36; 346; 3262; 3636; 63]
|
[36; 346; 3342; 3446; 46.12]
|
[346; 3342; 33434; 3446; 44]
|
[36; 33434; 3464; 3446; 3636]
|
[36; 346; 3464; 3446; 3636]
|
[33434; 334.12; 3464;
3.12.12; 46.12]
|
[36; 346; 3446; 3636; 44]
|
[36; 346; 3446; 3636; 44]
|
[36; 346; 3446; 3636; 44]
|
[36; 346; 3446; 3636; 44]
|
[36; 3342; 3446; 3636; 44]
|
[36; 346; 3342; 3446; 44]
|
[36; 3342; 3262; 3446; 3636]
|
[36; 346; 3342; 3262; 3446]
|
Имеется 94 5-однородные мозаики с 4 типами вершин.
5-однородные мозаики (2:1:1:1)
[36; 33434; (3446)2; 46.12]
|
[36; 33434; 3446; (46.12)2]
|
[36; 33434; 3464; (46.12)2]
|
[36; 3342; (334.12)2; 3464]
|
[36; (3342)2; 334.12; 3464]
|
[36; 33434; (334.12)2; 3464]
|
[36; 33434; 334.12; (3.12.12)2]
|
[36; 346; (3342)2; 334.12]
|
[36; 33434; 343.12; (3.12.12)2]
|
[(3342)2; 334.12; 343.12; 3.12.12]
|
[(3342)2; 334.12; 343.12; 3.12.12]
|
[(3342)2; 334.12; 343.12; 44]
|
[33434; 3262; (3446)2; 44]
|
[36; (3342)2; 33434; 44]
|
[346; (3342)2; 33434; 44]
|
[36; 3342; (3464)2; 3446]
|
[3342; 3262; 3464; (3446)2]
|
[33434; 3262; 3464; (3446)2]
|
[36; 33434; (3446)2; 3636]
|
[3342; 33434; 3464; (3446)2]
|
[36; 33434; (3262)2; 3446]
|
[3342; 3262; (3464)2; 3446]
|
[33434; 3262; (3464)2; 3446]
|
[346; 3342; (3464)2; 3446]
|
[36; (3342)2; 33434; 3464]
|
[36; (3342)2; 33434; 3464]
|
[36; 3342; (33434)2; 3464]
|
[(36)2; 3342; 33434; 3464]
|
[36; 3342; (33434)2; 3464]
|
[(36)2; 3342; 33434; 334.12]
|
[36; 33434; (334.12)2; 343.12]
|
[(36)2; 346; 3342; 33434]
|
[(36)2; 346; 3262; 63]
|
[36; (346)2; 3262; 63]
|
[(36)2; 346; 3262; 3636]
|
[36; 346; (3262)2; 3636]
|
[36; (346)2; 3262; 3636]
|
[(36)2; 346; 3262; 3636]
|
[36; 346; 3262; (3636)2]
|
[36; (346)2; 3262; 3636]
|
[36; (346)2; 3262; 3636]
|
[36; (346)2; 3262; 3636]
|
[36; 346; (3262)2; 3636]
|
[36; 346; (3262)2; 3636]
|
[36; 346; 3262; (63)2]
|
[36; 346; (3262)2; 63]
|
[346; (3262)2; 3636; 63]
|
[(346)2; 3262; 3636; 63]
|
[(36)2; 346; 3262; 63]
|
[(36)2; 346; 3262; 63]
|
[36; 346; 3262; (63)2]
|
[36; 346; 3262; (63)2]
|
[36; 346; 3262; (63)2]
|
[36; 346; (3262)2; 63]
|
[346; (3262)2; 3636; 63]
|
[346; (3262)2; 3636; 63]
|
[346; (3262)2; 3636; 63]
|
[346; 3262; 3636; (63)2]
|
[346; (3262)2; 3636; 63]
|
[3342; 3262; 3446; (63)2]
|
[3342; 3262; 3446; (63)2]
|
[3262; 3446; 3636; (44)2]
|
[3262; 3446; 3636; (44)2]
|
[3262; 3446; (3636)2; 44]
|
[3262; 3446; (3636)2; 44]
|
[3342; 3262; 3446; (44)2]
|
[346; 3342; 3446; (44)2]
|
[3262; 3446; 3636; (44)2]
|
[3262; 3446; 3636; (44)2]
|
[3262; 3446; (3636)2; 44]
|
[3262; 3446; (3636)2; 44]
|
[3342; 3262; 3446; (44)2]
|
[346; 3342; 3446; (44)2]
|
[346; (3342)2; 3636; 44]
|
[36; 3342; (3446)2; 3636]
|
[346; (3342)2; 3446; 3636]
|
[346; (3342)2; 3446; 3636]
|
[(36)2; 346; 3446; 3636]
|
[36; 3342; (3446)2; 3636]
|
[346; (3342)2; 3446; 3636]
|
[346; (3342)2; 3446; 3636]
|
[(36)2; 346; 3446; 3636]
|
[(36)2; 3342; 3446; 3636]
|
[36; 3342; 3446; (3636)2]
|
[346; 3342; (3446)2; 3636]
|
[36; 346; (3342)2; 3446]
|
[346; (3342)2; 3262; 3636]
|
[346; (3342)2; 3262; 3636]
|
[36; (346)2; 3342; 3446]
|
[36; (346)2; 3342; 3446]
|
[36; (346)2; 3342; 3446]
|
[36; 346; (3342)2; 3262]
|
[(36)2; 346; 3342; 3636]
|
[(36)2; 346; 3342; 3636]
|
Имеется 149 5-однородных мозаик, 60 имеют копии 3:1:1, 89 имеют копии 2:2:1.
5-однородные мозаикиs (3:1:1)
[36; 334.12; (46.12)3]
|
[3464; 3446; (46.12)3]
|
[36; (334.12)3; 46.12]
|
[334.12; 343.12; (3.12.12)3]
|
[36; (33434)3; 343.12]
|
[3262; 3636; (63)3]
|
[346; 3262; (63)3]
|
[36; (3262)3; 63]
|
[36; (3262)3; 63]
|
[3262; (3636)3; 63]
|
[3446; 3636; (44)3]
|
[3446; 3636; (44)3]
|
[36; 3342; (44)3]
|
[36; 3342; (44)3]
|
[3446; (3636)3; 44]
|
[3446; (3636)3; 44]
|
[36; (3342)3; 44]
|
[36; (3342)3; 44]
|
[36; (3342)3; 44]
|
[(36)3; 3342; 44]
|
[(36)3; 3342; 44]
|
[3446; 3636; (44)3]
|
[3446; 3636; (44)3]
|
[36; 3342; (44)3]
|
[36; 3342; (44)3]
|
[(3342)3; 3262; 3446]
|
[3262; 3446; (3636)3]
|
[3262; 3446; (3636)3]
|
[3262; 3446; (3636)3]
|
[3262; 3446; (3636)3]
|
[3446; (3636)3; 44]
|
[3446; (3636)3; 44]
|
[36; (3342)3; 44]
|
[36; (3342)3; 44]
|
[36; (3342)3; 44]
|
[(36)3; 3342; 44]
|
[(36)3; 3342; 44]
|
[36; (3342)3; 44]
|
[36; (3342)3; 44]
|
[36; (3342)3; 44]
|
[(3342)3; 3446; 3636]
|
[(3342)3; 3446; 3636]
|
[346; (3342)3; 3446]
|
[(36)3; 346; 3262]
|
[(36)3; 346; 3262]
|
[(36)3; 346; 3262]
|
[346; (3262)3; 3636]
|
[346; (3262)3; 3636]
|
[(346)3; 3262; 3636]
|
[(346)3; 3262; 3636]
|
[(36)3; 346; 3262]
|
[(36)3; 346; 3262]
|
[(346)3; 3262; 3636]
|
[36; 346; (3636)3]
|
[36; 346; (3636)3]
|
[36; 346; (3636)3]
|
[36; 346; (3636)3]
|
[(36)3; 346; 3636]
|
[(36)3; 346; 3636]
|
[36; (346)3; 3636]
|
5-однородные мозаики (2:2:1)
[(3446)2; (3636)2; 46.12]
|
[(36)2; (3342)2; 3464]
|
[(3342)2; 334.12; (3464)2]
|
[36; (33434)2; (3464)2]
|
[3342; (33434)2; (3464)2]
|
[3342; (33434)2; (3464)2]
|
[3342; (33434)2; (3464)2]
|
[(33434)2; 343.12; (3464)2]
|
[36; (3262)2; (63)2]
|
[(3262)2; (3636)2; 63]
|
[(36)2; (3342)2; 33434]
|
[(36)2; 3342; (33434)2]
|
[346; (3342)2; (33434)2]
|
[(36)2; 3342; (33434)2]
|
[(36)2; 3342; (33434)2]
|
[(3262)2; 3636; (63)2]
|
[(3446)2; 3636; (44)2]
|
[(3446)2; 3636; (44)2]
|
[3446; (3636)2; (44)2]
|
[(3446)2; 3636; (44)2]
|
[(3446)2; 3636; (44)2]
|
[3446; (3636)2; (44)2]
|
[36; (3342)2; (44)2]
|
[(36)2; 3342; (44)2]
|
[(36)2; 3342; (44)2]
|
[(3446)2; 3636; (44)2]
|
[(3446)2; 3636; (44)2]
|
[(3446)2; 3636; (44)2]
|
[(3446)2; 3636; (44)2]
|
[(3446)2; 3636; (44)2]
|
[36; (3342)2; (44)2]
|
[(36)2; (3342)2; 44]
|
[(3446)2; 3636; (44)2]
|
[(3446)2; 3636; (44)2]
|
[3446; (3636)2; (44)2]
|
[(3446)2; 3636; (44)2]
|
[(3446)2; 3636; (44)2]
|
[3446; (3636)2; (44)2]
|
[36; (3342)2; (44)2]
|
[(36)2; 3342; (44)2]
|
[(36)2; 3342; (44)2]
|
[36; (3342)2; (44)2]
|
[36; (3342)2; (44)2]
|
[(3446)2; 3636; (44)2]
|
[(36)2; (3342)2; 44]
|
[(36)2; (3342)2; 44]
|
[(36)2; (3342)2; 44]
|
[(36)2; (3342)2; 44]
|
[(33434)2; 3262; (3446)2]
|
[3342; (3262)2; (3446)2]
|
[3342; (3262)2; (3446)2]
|
[3262; (3446)2; (3636)2]
|
[(3262)2; 3446; (3636)2]
|
[(3262)2; 3446; (3636)2]
|
[(3464)2; (3446)2; 3636]
|
[3262; (3446)2; (3636)2]
|
[3262; (3446)2; (3636)2]
|
[(346)2; (3446)2; 3636]
|
[(346)2; (3446)2; 3636]
|
[(346)2; (3446)2; 3636]
|
[(346)2; (3446)2; 3636]
|
[(3342)2; (3446)2; 3636]
|
[(3342)2; (3446)2; 3636]
|
[(346)2; (3342)2; 3446]
|
[(346)2; 3342; (3446)2]
|
[(36)2; (346)2; 3262]
|
[36; (346)2; (3262)2]
|
[(36)2; 346; (3262)2]
|
[(346)2; (3262)2; 63]
|
[36; (3262)2; (63)2]
|
[36; (346)2; (3262)2]
|
[346; (3262)2; (3636)2]
|
[(346)2; (3262)2; 3636]
|
[36; (346)2; (3262)2]
|
[(346)2; 3262; (3636)2]
|
[(346)2; (3262)2; 3636]
|
[(36)2; (346)2; 3262]
|
[(36)2; (346)2; 3262]
|
[(36)2; (346)2; 3636]
|
[(36)2; (346)2; 3636]
|
[36; (346)2; (3342)2]
|
[(36)2; (346)2; 3262]
|
[36; (346)2; (3262)2]
|
[36; (346)2; (3262)2]
|
[346; (3342)2; (3636)2]
|
[346; (3342)2; (3636)2]
|
[(36)2; 346; (3636)2]
|
[(36)2; (346)2; 3636]
|
[(36)2; 3342; (33434)2]
|
Имеется 74 5-однородных типов с 2 типами вершин, 27 с 4:1 и 47 с 3:2 копиями каждого типа.
5-однородные мозаики (4:1)
[(3464)4; 46.12]
|
[343.12; (3.12.12)4]
|
[36; (33434)4]
|
[36; (33434)4]
|
[(36)4; 346]
|
[(36)4; 346]
|
[(36)4; 346]
|
[36; (346)4]
|
[3262; (3636)4]
|
[(346)4; 3262]
|
[(346)4; 3262]
|
[(346)4; 3636]
|
[3262; (3636)4]
|
[3446; (3636)4]
|
[3446; (3636)4]
|
[(3342)4; 33434]
|
[3342; (33434)4]
|
[3342; (44)4]
|
[3342; (44)4]
|
[(3342)4; 44]
|
[(3342)4; 44]
|
[(3342)4; 44]
|
[36; (3342)4]
|
[36; (3342)4]
|
[36; (3342)4]
|
[(36)4; 3342]
|
[(36)4; 3342]
|
Имеется 29 5-однородных мозаик с 3 и 2 типами вершинных фигур.
5-однородные мозаики (3:2)
[(3464)2; (46.12)3]
|
[(3464)2; (46.12)3]
|
[(3464)3; (3446)2]
|
[(33434)2; (3464)3]
|
[(33434)3; (3464)2]
|
[(36)2; (346)3]
|
[(36)2; (346)3]
|
[(36)3; (346)2]
|
[(36)3; (346)2]
|
[(36)3; (346)2]
|
[(36)3; (346)2]
|
[(36)2; (346)3]
|
[(36)2; (346)3]
|
[(36)2; (346)3]
|
[(3262)2; (3636)3]
|
[(346)3; (3636)2]
|
[(346)3; (3636)2]
|
[(346)2; (3636)3]
|
[(3446)3; (3636)2]
|
[(3446)2; (3636)3]
|
[(3446)3; (3636)2]
|
[(3446)2; (3636)3]
|
[(3446)2; (3636)3]
|
[(3342)3; (33434)2]
|
[(3342)3; (33434)2]
|
[(3342)2; (33434)3]
|
[(3342)2; (33434)3]
|
[(3342)2; (44)3]
|
[(3342)2; (44)3]
|
[(3342)2; (44)3]
|
[(3342)3; (44)2]
|
[(3342)2; (44)3]
|
[(3342)3; (44)2]
|
[(3342)2; (44)3]
|
[(3342)2; (44)3]
|
[(3342)3; (44)2]
|
[(3342)3; (44)2]
|
[(36)2; (3342)3]
|
[(36)2; (3342)3]
|
[(36)2; (3342)3]
|
[(36)2; (3342)3]
|
[(36)3; (3342)2]
|
[(36)3; (3342)2]
|
[(36)3; (3342)2]
|
[(36)3; (3342)2]
|
[(36)3; (3342)2]
|
[(36)3; (3342)2]
|
Более высокиеk-однородные мозаики
k-Однородные мозаики были перечислены вплоть до k=6.
Имеется 673 6-однородные мозаики на евклидовой плоскости.
Поиск, проведённый Брайаном Галебахом, воспроизвёл список Кротенхирдта из 10 6-однородных мозаик с 6 различными типами вершин,
список из 92 с 5 типами вершин, 187 с 4 типами вершин, 284 с 3 типами вершин и 100 с 2 типами вершин.
Примечания
- k-uniform tilings by regular polygons Архивировано 30 июня 2015 года. Nils Lenngren, 2009
- n-Uniform Tilings . probabilitysports.com. Дата обращения: 21 июня 2019.
- Critchlow, 1970, с. 60-61.
- Critchlow, 1970, с. 62-67.
- Grnbaum, Shephard, 1987, с. 65-67.
- In Search of Demiregular Tilings . Дата обращения: 4 июня 2015. Архивировано из оригинала 7 мая 2016 года.
- Chavey, 1989.
Литература- Branko Grnbaum, Geoffrey C. Shephard. Tilings by regular polygons // Math. Mag.. — 1977. — Т. 50, № 5. — С. 227–247. — doi:10.2307/2689529. — .
- Branko Grnbaum, Geoffrey C. Shephard. The ninety-one types of isogonal tilings in the plane // Trans. Am. Math. Soc.. — 1978. — Т. 252. — С. 335–353. — doi:10.1090/S0002-9947-1978-0496813-3.
- I. Debroey, F. Landuyt. Equitransitive edge-to-edge tilings // Geometriae Dedicata. — 1981. — Т. 11, № 1. — С. 47–60. — doi:10.1007/BF00183189.
- Branko Grnbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns. — W. H. Freeman and Company, 1987. — ISBN 0-7167-1193-1.
- Ding Ren, John R. Reay. The boundary characteristic and Pick's theorem in the Archimedean planar tilings // Journal of Combinatorial Theory. — 1987. — Т. 44, № 1. — С. 110–119. — doi:10.1016/0097-3165(87)90063-X.
- D. Chavey. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings // Computers & Mathematics with Applications. — 1989. — Т. 17. — С. 147–165. — doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9.
- P. Pra. Distance sequences and percolation thresholds in Archimedean Tilings // Mathl. Comput. Modelling. — 1997. — Т. 26, № 8–10. — С. 317–320. — doi:10.1016/S0895-7177(97)00216-1.
- Jurij Kovic. Symmetry-type graphs of Platonic and Archimedean solids // Math. Commun.. — 2011. — Т. 16, № 2. — С. 491–507.
- Daniel Pellicer, Gordon Williams. Minimal Covers of the Archimedean Tilings, Part 1 // The Electronic Journal of Combinatorics. — 2012. — Т. 19, № 3. — С. #P6. — doi:10.37236/2512.
Ссылки
|
|
