Меню Главная Случайная статья Настройки abc-гипотеза Материал из https://ru.wikipedia.org abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году[1] и Джозефом Эстерле в 1988 году[2]. Доказательство Содержание 1 Формулировка 2 Замечания 3 Следствия 3.1 Гипотеза Била и Великая теорема Ферма 3.2 Гипотезы Пиллаи и Каталана 4 Попытки доказательства 4.1 Доказательство Мотидзуки 5 См. также 6 Примечания 7 Литература 8 Ссылки Формулировка Для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует постоянная ${\displaystyle K(\varepsilon )}$, при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, таких, что ${\displaystyle a+b=c}$, выполняется неравенство ${\displaystyle \max {\big (}|a|,|b|,|c|{\big )}\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon },}$ где ${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)}$ — радикал числа ${\displaystyle abc}$, то есть число, равное произведению простых делителей произведения ${\displaystyle abc}$. Замечания Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию натуральные числа ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$. Тогда неравенство сводится к следующему: ${\displaystyle c\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }.}$ Условие ${\displaystyle \varepsilon >0}$ необходимо. Для любого ${\displaystyle K}$ существует тройка взаимно простых чисел ${\displaystyle a,b,c=a+b}$ таких, что ${\displaystyle c>K\cdot \operatorname {rad} (abc)}$. Например тройка вида ${\displaystyle a=1,b=2^{2\cdot 3^{n}}-1,c=2^{2\cdot 3^{n}}}$, где ${\displaystyle K<3^{n-1}}$. Следствия Гипотеза Била и Великая теорема Ферма Из справедливости Согласно гипотезе Била, если ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$ (${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ — натуральные и ${\displaystyle x,\;y,\;z>2}$), то ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ имеют общий делитель. Докажем гипотезу Била для достаточно больших ${\displaystyle z}$ от противного. Предположим, существует бесконечное количество ${\displaystyle z}$, для которых гипотеза Била неверна. Применим ${\displaystyle C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad} (A^{x}B^{y}C^{z})\right)^{1+\varepsilon }}$ Учтём, что ${\displaystyle \operatorname {rad} (A^{x}B^{y}C^{z})=\operatorname {rad} (ABC)\leqslant ABC}$. Поэтому: ${\displaystyle C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad} (ABC)\right)^{1+\varepsilon }\leqslant K(\varepsilon )\cdot (ABC)^{1+\varepsilon }}$ Поскольку из условий теоремы очевидно, что ${\displaystyle A<C}$ и ${\displaystyle B<C}$, то ${\displaystyle ABC\leqslant C^{3}}$. Тогда: ${\displaystyle C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot C^{3+3\varepsilon }}$ Прологарифмировав обе части неравенства и разделив на ${\displaystyle \log C}$, получим ограничение сверху на величину ${\displaystyle z}$: ${\displaystyle z\leqslant {\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C}}+3+3\varepsilon }$,        (*) причём, отношение ${\displaystyle {\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C}}}$ должно быть конечным, поскольку, по условию ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ — натуральные (то есть ${\displaystyle A,B\geqslant 1\;\Rightarrow \;C\geqslant 2}$) Таким образом, можно найти некоторое конечное значение ${\displaystyle z}$, для которого неравенство (*) не выполняется, то есть Гипотезы Пиллаи и Каталана Из справедливости Попытки доказательства В 2007 году французский математик Люсьен Шпиро[англ.], работами которого была вдохновлена сама Доказательство Мотидзуки В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать Опубликовав доказательство в интернете, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Они публикуют отчёты о ходе этой работы[8]. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах[9]. На конец 2017 года в мире насчитывается от 10 до 20 специалистов по теории, созданной Мотидзуки[10]. Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным в научном сообществе. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств[10][11], в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки. В 2018 году Петер Шольце и Якоб Стикс — специалисты в областях, связанных с В 2021 году доказательство Мотидзуки было опубликовано в журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS) научно-исследовательского института математических наук при Киотском университете (это институт, в котором работает Мотидзуки), но так и не получило признания математического сообщества[14][15][16]. См. также Гипотеза Холла Теорема Мэйсона — Стотерса Примечания D. W. Masser. Open problems (англ.) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / W. W. L. Chen. — London: Imperial College, 1985. — Vol. 25. J. Oesterl. Nouvelles approches du "thorme" de Fermat (фр.) // Sminaire N. Bourbaki. — 1988. — Vol. 694. — P. 165–186. — ISSN 0303-1179. Архивировано 2 ноября 2012 года. R. Daniel Mauldin. A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem (англ.) // Notices of the AMS. — 1985. — Vol. 44, no. 11. — P. 1436—1437. Архивировано 28 июля 2012 года. Philip Ball. Proof claimed for deep connection between primes (англ.) // Nature. — 2012-09-10. — ISSN 1476-4687. — doi:10.1038/nature.2012.11378. Архивировано 9 октября 2023 года. Японский математик заявил о доказательстве АВС-гипотезы. Lenta.ru. 11 сентября 2012. Архивировано 14 сентября 2012. Дата обращения: 11 сентября 2012. Mochizuki, Shinichi (August 2012). Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters, Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation, Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice., Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations, доступны на странице http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html Архивная копия от 2 февраля 2021 на Wayback Machine 1 2 David Michael Roberts. A Crisis of Identification : [арх. 29 января 2021] // Inference. — 2019. — Vol. 4, no. 3. IUTeich Verification Report 2013-12 Архивная копия от 13 сентября 2014 на Wayback Machine, IUTeich Verification Report 2014-12 Архивная копия от 22 января 2015 на Wayback Machine «Японский Перельман» согласился объяснить главнейшую тайну математики. Архивная копия от 27 ноября 2015 на Wayback Machine // Lenta.ru, 2015-10-08 1 2 Timothy Revell. Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page ‘summary’  (неопр.). New Scientist (7 сентября 2017). Дата обращения: 8 декабря 2017. Архивировано 23 декабря 2017 года. Caroline Chen. The Paradox of the Proof  (неопр.) (4 мая 2013). Дата обращения: 6 сентября 2016. Архивировано 16 сентября 2013 года. Перевод: Даниил Басманов. Парадокс доказательства  (неопр.) (17 июня 2013). Дата обращения: 6 сентября 2016. Архивировано 14 сентября 2016 года. Mochizuki, Shinichi. Report on Discussions, Held during the Period March 15 – 20, 2018, Concerning Inter-Universal Teichmller Theory  (неопр.). Дата обращения: 18 января 2019. Архивировано 9 ноября 2018 года. Mochizuki, Shinichi. Comments on the manuscript by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmller Theory  (неопр.). Дата обращения: 18 января 2019. Архивировано 21 сентября 2018 года. Mochizuki, Shinichi. Comments on the manuscript (2018-08 version) by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmller Theory  (неопр.). Дата обращения: 18 января 2019. Архивировано 24 октября 2018 года. Журнал Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences несмотря ни на что опубликует работу математика Синъити Мотидзуки с доказательством гипотезы Эстерле — Массера Архивная копия от 11 июня 2020 на Wayback Machine // Лента.Ру, 3 апреля 2020 Nature (Великобритания): математическое доказательство, которое потрясет теорию чисел, готовится к публикации  (неопр.). Дата обращения: 12 апреля 2020. Архивировано 12 апреля 2020 года. Mochizuki, Shinichi. Mochizuki's proof of ABC conjecture  (неопр.). Дата обращения: 14 июля 2021. Архивировано 3 мая 2021 года. Литература Ссылки Лекции про ABC-гипотезу (by Keith Conrad): Лекция 1, Лекция 2, Лекция 3, Лекция 4. Р. Борчердс, Undergraduate math talk: The abc conjecture на YouTube.