Меню Главная Случайная статья Настройки L-распределение Материал из https://ru.wikipedia.org L-распределение Сосновского — распределение случайной вещественной величины, принимающей значения из отрезка [0,1], характеризующееся указанной ниже функцией распределения. Данное распределение было предложено более 25 лет назад[1] для анализа накопления усталостных повреждений при нерегулярном нагружении. За это время выяснилось, что (см., например[2][3][4]), оно не является частным случаем никакого другого известного распределения и имеет важное значение в механике повреждений[5]. Содержание 1 Определение 2 Моменты случайной величины 3 Характеристическая функция 4 Функция интенсивности отказов 5 Оценивание параметров 6 Генерирование случайной величины 7 Примечания Определение L-распределение определяется двухпараметрической интегральной функцией распределения: ${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0,&x<0\\\left(1-\left(1-x\right)^{\eta }\right)^{\gamma },&0\leq x\leq 1\\1,&x>1\end{cases}}}$ где , – параметры формы ( > 0, > 0). Функция L-распределения вполне адекватно описывает процесс накопления повреждений в объекте[6] и обладает всеми свойствами функций распределения непрерывных случайных величин[3]. Моменты случайной величины Выражения моментов случайной величины , подчиняющейся L-распределе­нию, могут быть представлены в явном виде лишь при определенных соотношениях значений параметров[7], не имеющих практической значимости. Однако они всегда могут быть выражены через Бета-функцию. Представим выражения для начальных моментов четырех младших порядков: ${\displaystyle \nu _{1}=M[\xi ]=1-{\frac {1}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {1}{\eta }}\right);}$ ${\displaystyle \nu _{2}=M[\xi ^{2}]=1-{\frac {2}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {1}{\eta }}\right)+{\frac {2}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {2}{\eta }}\right);}$ ${\displaystyle \nu _{3}=M[\xi ^{3}]=1-{\frac {3}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {1}{\eta }}\right)+{\frac {6}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {2}{\eta }}\right)-{\frac {3}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {3}{\eta }}\right);}$ ${\displaystyle \nu _{4}=M[\xi ^{4}]=1-{\frac {4}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {1}{\eta }}\right)+{\frac {12}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {2}{\eta }}\right)-{\frac {12}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {3}{\eta }}\right)+{\frac {4}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {4}{\eta }}\right).}$ Центральные моменты L-распределе­нной случайной величины удобно определять через начальные моменты с помощью известных в теории вероятностей выражений: ${\displaystyle \mu _{1}=0;\mu _{2}=D[\xi ]=\nu _{2}-\nu _{1}^{2}={\frac {2}{\eta }}\mathrm {B} \left(\gamma +1,{\frac {2}{\eta }}\right)-{\frac {1}{\eta ^{2}}}\mathrm {B} ^{2}\left(\gamma +1,{\frac {1}{\eta }}\right).}$ Характеристическая функция Характеристическая функция L-распре­деления g(t), как и моменты, не выражается аналитически явно. Графики данной функции (для следующих значений параметров a) = 3; b) = 1) представлены на рисунке. Функция интенсивности отказов Рассматривая L-распределенную случайную величину, как наработку объекта до отказа, функция интенсивности отказов объекта (x) имеет вид (${\displaystyle x\in [0,1]}$, см. рисунок ниже) ${\displaystyle \lambda (x)={\frac {f(x)}{1-F(x)}}={\frac {\eta \gamma \left(1-\left(1-x\right)^{\eta }\right)^{\gamma -1}\left(1-x\right)^{\eta -1}}{1-\left(1-\left(1-x\right)^{\eta }\right)^{\gamma }}}}$. Функция интенсивности отказов монотонно возрастает при >1, поэтому L-распре­деление может использоваться в качестве адекватной модели постепенных (износовых) отказов объектов. При < 1 функция интенсивности отказов имеет U-образную форму, что позволяет использовать L-распре­деление для описания наработки объектов до отказа на всех этапах жизненного цикла объекта: в периоде приработки, нормальной эксплуатации и старения. Оценивание параметров Статистические оценки ${\displaystyle {\hat {\eta }},{\hat {\gamma }}}$  параметров L-распределения ${\displaystyle {\eta },{\gamma }}$ на практике предлагается определять как решение (численное) системы уравнений: ${\displaystyle {\begin{cases}{\hat {M}}[\xi ]=1-{\frac {1}{\hat {\eta }}}\mathrm {B} \left({\hat {\gamma }}+1,{\frac {1}{\hat {\eta }}}\right)\\{\hat {D}}[\xi ]={\frac {2}{\hat {\eta }}}\mathrm {B} \left({\hat {\gamma }}+1,{\frac {2}{\hat {\eta }}}\right)-{\frac {1}{{\hat {\eta }}^{2}}}\mathrm {B} ^{2}\left({\hat {\gamma }}+1,{\frac {1}{\hat {\eta }}}\right)\end{cases}}}$ где ${\displaystyle {\hat {M}}[\xi ],{\hat {D}}[\xi ]}$ – несмещенные и состоятельные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины . Вопрос о существовании (возможно, единственности) решения системы уравнений, а также определение свойств полученных оценок (несмещенность, состоятельность, эффективность) представляет пока нерешенную, задачу. Генерирование случайной величины Генерирование случайной величины , подчиняющейся L-распределению, целесообразно методом обратной функции с использованием реализаций R базовой случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0,1]: ${\displaystyle x=1-\left(1-R^{\frac {1}{\gamma }}\right)^{\frac {1}{\eta }}}$. Примечания Сосновский, Л. А. Статистическая механика усталостного разрушения / Л. А. Сосновский. — Минск: Наука и техника, 1987. — 288 с. 1 2