Меню Главная Случайная статья Настройки Бета-функция Материал из https://ru.wikipedia.org В математике бета-функцией (${\displaystyle \mathrm {B} }$-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух комплексных переменных: ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,}$ определённая при ${\displaystyle \operatorname {Re} x>0}$, ${\displaystyle \operatorname {Re} y>0}$. Бета-функция была изучена Эйлером, Лежандром[когда?], а название ей дал Жак Бине. Содержание 1 Свойства 2 Производные 3 Неполная бета-функция 3.1 Свойства '"`UNIQ--postMath-00000016-QINU`"' 4 Примечания 5 Литература 6 См. также Свойства Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\operatorname {\mathrm {B} } (y,x).}$ Бета-функцию можно выразить через другие функции: ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}},}$ где ${\displaystyle \Gamma (x)}$ — Гамма-функция; ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\quad \operatorname {Re} x>0,\ \operatorname {Re} y>0;}$ ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\quad \operatorname {Re} x>0,\ \operatorname {Re} y>0;}$ ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(y)_{n+1}}{n!(x+n)}},}$ где ${\displaystyle (x)_{n}}$ — нисходящий факториал, равный ${\displaystyle x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1)}$. Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами: ${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}$ Бета-функция удовлетворяет двумерному разностному уравнению: ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)-\mathrm {B} (x+1,y)-\mathrm {B} (x,y+1)=0.}$ Производные Частные производные у бета-функции следующие: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)}}\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (x)-\psi (x+y){\big )},}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(y)}{\Gamma (y)}}-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)}}\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (y)-\psi (x+y){\big )},}$ где ${\displaystyle \psi (x)}$ — дигамма-функция. Неполная бета-функция Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее интеграл по отрезку ${\displaystyle [0,1]}$ на интеграл с переменным верхним пределом: ${\displaystyle \mathrm {B} _{x}(a,b)=\int \limits _{0}^{x}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt.}$ При ${\displaystyle x=1}$ неполная бета-функция совпадает с полной. Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции: ${\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{x}(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}$ СвойстваI(x){\displaystyle I(x)} ${\displaystyle I_{0}(a,b)=0,}$ ${\displaystyle I_{1}(a,b)=1,}$ ${\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a),}$ ${\displaystyle I_{x}(a+1,b)=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{aB(a,b)}}.}$ Примечания Литература Кузнецов Д. С. Специальные функции (1962) — 249 с. См. также Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера Гамма-функция Бета-распределение