Меню Главная Случайная статья Настройки M-матрица Материал из https://ru.wikipedia.org M-матрица в математике — это Z-матрица с собственными значениями, действительные части которой неотрицательны. Множество неособых M-матриц является подмножеством класса P-матриц, а также класса обратноположительных матриц (то есть матриц, обратные к которым принадлежат классу положительных матриц)[1]. Название M-матрица, по-видимому, первоначально было выбрано Александром Островским в связи с Германом Минковским, который доказал, что если у Z-матрицы все суммы строк положительны, то определитель этой матрицы положителен[2]. Характеристики M-матрица обычно определяется следующим образом: Определение: Пусть ${\displaystyle A}$ — ${\displaystyle n\times n}$ вещественная Z-матрица, то есть матрица ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ такова, что ${\displaystyle a_{ij}\leq 0}$ для всех ${\displaystyle i\neq j}$, ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$. Тогда матрица ${\displaystyle A}$ также является M-матрицей, если она представима в виде ${\displaystyle A=sI-B}$, где ${\displaystyle B=(b_{ij})}$, ${\displaystyle b_{ij}\geq 0}$ для всех ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$, где s по меньшей мере так же велико, как максимум модулей собственных значений ${\displaystyle B}$, а ${\displaystyle I}$ — единичная матрица. Для несингулярности[англ.] матрицы ${\displaystyle A}$, согласно теореме Перрона-Фробениуса, должно выполняться условие s > (B). Кроме того, для неособой M-матрицы диагональные элементы ${\displaystyle a_{ii}\leq 0}$ матрицы ${\displaystyle A}$ должны быть положительными. Далее характеризуется только класс неособых M-матриц. Известно много утверждений, эквивалентных этому определению неособых M-матриц, и любое из этих утверждений может служить отправным определением неособой M-матрицы[3]. Например, Племмонс перечисляет 40 таких эквивалентностей[4]. Племмонс[англ.] классифицировал эти характеристики с точки зрения их отношения к свойствам: (1) положительности главных миноров, (2) обратной положительности и расщеплений, (3) устойчивости и (4) полуположительности и диагонального доминирования. Имеет смысл классифицировать свойства таким образом, потому что операторы внутри определённой группы связаны друг с другом, даже если матрица ${\displaystyle A}$ является произвольной матрицей и не обязательно Z-матрицей. Примечания Fujimoto, Takao & Ranade, Ravindra (2004), Two Characterizations of Inverse-Positive Matrices: The Hawkins-Simon Condition and the Le Chatelier-Braun Principle (PDF), Electronic Journal of Linear Algebra, 11: 59–65, Архивировано (PDF) 2 октября 2023, Дата обращения: 18 сентября 2023.