Меню Главная Случайная статья Настройки Йорданова алгебра Материал из https://ru.wikipedia.org Йорданова алгебра — это неассоциативная алгебра над полем, умножение которой удовлетворяет следующим аксиомам: ${\displaystyle xy=yx}$ (закон коммутативности) ${\displaystyle (xy)(xx)=x(y(xx))}$ (тождество Йордана) Произведение двух элементов x и y в йордановой алгебре также обозначается xy, в частности, чтобы избежать путаницы с произведением связанной ассоциативной алгебры . Аксиомы подразумевают[1], что йорданова алгебра является ассоциативной по степеням, а именно ${\displaystyle x^{n}=x\cdots x}$ не зависит от того, как мы расставляем скобки в выражении. Они также подразумевают[1], что ${\displaystyle x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)}$ для всех положительных целых чисел m и n. Таким образом, мы можем эквивалентно определить йорданову алгебру как коммутативную, ассоциативную по степеням алгебру, такую, что для любого элемента ${\displaystyle x}$, операции умножения на степени ${\displaystyle x^{n}}$ коммутируют. Йордановы алгебры были введены Паскуалем Йорданом (1933) в попытке формализовать понятие алгебры наблюдаемых величин в квантовой электродинамике. Вскоре было показано, что эти алгебры бесполезны в этом контексте, однако с тех пор они нашли множество применений в математике[2]. Первоначально эти алгебры назывались «r-числовыми системами», но были переименованы в «йордановы алгебры» Альбертом (1946), который начал систематическое изучение общих йордановых алгебр. Содержание 1 Специальные йордановы алгебры 1.1 Эрмитовы йордановы алгебры 2 Примеры 3 Дифференцирования и структурная алгебра 4 Формально действительные йордановы алгебры 5 Разложение Пирса 6 Специальные виды и обобщения 6.1 Бесконечномерные йордановы алгебры 6.2 Йордановы операторные алгебры 6.3 Кольца Йордана 6.4 Йордановы супералгебры 6.5 J-структуры 6.6 Квадратичные йордановы алгебры 7 См. также 8 Примечания 9 Ссылки 10 Дальнейшее чтение 11 Ссылки Специальные йордановы алгебры Заметим сначала, что ассоциативная алгебра является йордановой алгеброй тогда и только тогда, когда она коммутативна. Для любой ассоциативной алгебры A (не характеристики 2) можно построить йорданову алгебру A+, используя то же самое базовое сложение и новое умножение — йорданово произведение, определяемое как: ${\displaystyle x\circ y={\frac {xy+yx}{2}}.}$ Эти йордановы алгебры и их подалгебры называются специальными йордановыми алгебрами, а все остальные — исключительными йордановыми алгебрами. Конструкция аналогична алгебре Ли, связанной с A, произведение которой (скобка Ли) определяется коммутатором ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$ . Теорема Ширшова-Кона утверждает, что любая йорданова алгебра с двумя образующими является специальной[3]. Похожим образом теорема Макдональда утверждает, что любой многочлен от трёх переменных, имеющий степень один по одной из переменных и обращающийся в нуль в каждой специальной йордановой алгебре, обращается в нуль и в каждой йордановой алгебре[4]. Эрмитовы йордановы алгебры Если (A, ) — ассоциативная алгебра с инволюцией , то если (x) = x и (y) = y, то следует, что ${\textstyle \sigma (xy+yx)=xy+yx.}$ Таким образом, множество всех элементов, фиксируемых инволюцией (иногда называемых эрмитовыми элементами), образуют подалгебру алгебры A +, которую иногда обозначают как H(A, ). Примеры 1. Множество самосопряженных действительных, комплексных или кватернионных матриц с умножением ${\displaystyle (xy+yx)/2}$ образуют специальную йорданову алгебру. 2. Набор самосопряженных матриц 33 над октонионами снова с умножением ${\displaystyle (xy+yx)/2,}$ — 27-мерная исключительная йорданова алгебра (исключительная, поскольку октонионы неассоциативны). Это был первый пример алгебры Альберта. Её группа автоморфизмов — исключительная группа Ли F4. Поскольку над комплексными числами это единственная простая исключительная йорданова алгебра с точностью до изоморфизма[5], её часто называют «исключительной йордановой алгеброй». Над вещественными числами существует три изоморфных класса простых исключительных йордановых алгебр[5]. Дифференцирования и структурная алгебра Дифференцирование йордановой алгебры A — это эндоморфизм D алгебры A, такой что D(xy) = D (x) y + xD(y). Дифференцирования образуют алгебру Ли der (A). Из тождества Йордана следует, что если x и y — элементы алгебры A, то эндоморфизм, переводящий z в x (yz) y (xz), является дифференцированием. Таким образом, прямую сумму алгебр A и der(A) можно преобразовать в алгебру Ли, называемую структурной алгеброй алгебры A, str (A). Простым примером служат эрмитовы йордановы алгебры H(A, ). В этом случае любой элемент x алгебры A с условием (x)= x определяет дифференцирование. Во многих важных примерах структурная алгебра алгебры H(A, ) — это A. Алгебры вывода и структуры также являются частью конструкции магического квадрата Фрейденталя, созданной Титсом . Формально действительные йордановы алгебры Алгебра (возможно, неассоциативная) над действительными числами называется формально действительной, если она удовлетворяет свойству, согласно которому сумма n квадратов может обратиться в нуль только при обращении в нуль каждого из них по отдельности. В 1932 году Джордан попытался аксиоматизировать квантовую теорию, заявив, что алгебра наблюдаемых любой квантовой системы должна быть формально действительной алгеброй, которая является коммутативной (xy = yx) и степенно-ассоциативной (закон ассоциативности выполняется для произведений, содержащих только x, так что степени любого элемента x определяются однозначно). Он доказал, что любая такая алгебра является йордановой алгеброй. Не каждая йорданова алгебра формально вещественна, но Jordan, von Neumann & Wigner (1934) классифицировали конечномерные формально вещественные йордановы алгебры, также называемые евклидовыми йордановыми алгебрами. Любая формально вещественная йорданова алгебра может быть представлена в виде прямой суммы так называемых простых йордановых алгебр, которые сами по себе нетривиальным образом не являются прямыми суммами. В конечных размерностях простые формально вещественные йордановы алгебры делятся на четыре бесконечных семейства, включая один исключительный случай: Йорданова алгебра самосопряженных вещественных матриц размера n  n, как указано выше. Йорданова алгебра самосопряженных комплексных матриц размера n  n, как указано выше. Йорданова алгебра самосопряженных кватернионных матриц размера n  n . как указано выше. Йорданова алгебра , свободно порожденная Rn с соотношениями ${\displaystyle x^{2}=\langle x,x\rangle }$ где правая часть определяется с помощью обычного скалярного произведения в Rn. Иногда это называется спин-фактором или йордановой алгеброй типа Клиффорда . Йорданова алгебра самосопряженных октонионных матриц 33, как указано выше (исключительная йорданова алгебра, называемая алгеброй Альберта). Из этих возможностей до сих пор представляется, что природа использует в качестве алгебр наблюдаемых величин только комплексные матрицы размера nn. Однако спиновые факторы играют роль в специальной теории относительности, и все формально вещественные йордановы алгебры связаны с проективной геометрией. Разложение Пирса Если e — идемпотент в йордановой алгебре A (то есть e 2 = e) и R — операция умножения на e, тогда R(2R  1)(R  1) = 0 поэтому единственными собственными значениями R являются 0, 1/2, 1. Если йорданова алгебра A конечномерна над полем характеристики, отличной от 2, это означает, что она является прямой суммой подпространств A = А 0 (е)  А1/2(е)  A1(e) из трёх собственных подпространств. Это разложение было впервые рассмотрено Jordan, von Neumann & Wigner (1934) для вполне вещественных йордановых алгебр. Позднее оно было изучено в полном объёме Albert (1947) и названо разложением Пирса для A относительно идемпотента е[6]. Специальные виды и обобщения Бесконечномерные йордановы алгебры В 1979 году Ефим Зельманов классифицировал бесконечномерные простые (и первичные невырожденные) йордановы алгебры. Они бывают эрмитового или клиффордова типа. В частности, единственными исключительными простыми йордановыми алгебрами являются конечномерные алгебры Альберта, имеющие размерность 27. Йордановы операторные алгебры Теория операторных алгебр была расширена и теперь охватывает йордановы операторные алгебры. Аналогами C*-алгебр являются алгебры JB, которые в конечных размерностях называются евклидовыми йордановыми алгебрами. Норма на вещественной йордановой алгебре должна быть полной и удовлетворять аксиомам: ${\displaystyle \displaystyle {\|a\circ b\|\leq \|a\|\cdot \|b\|,\,\,\,\|a^{2}\|=\|a\|^{2},\,\,\,\|a^{2}\|\leq \|a^{2}+b^{2}\|.}}$ Эти аксиомы гарантируют формальную вещественность йордановой алгебры, так что если сумма квадратов членов равна нулю, то и сами члены должны быть равны нулю. Комплексификации йордановых C*-алгебр или JB*-алгебр. Они широко используются в комплексной геометрии для расширения йордановой алгебраической трактовки Кёхера ограниченных симметричных областей на бесконечномерный случай. Не все йордановы алгебры могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, точно так же, как в конечных измерениях. Исключительная алгебра Альберта является общим препятствием. Йордановым аналогом алгебр фон Неймана являются алгебры JBW. Они оказываются алгебрами JB, которые, как банаховы пространства, являются дуальными пространствами банаховых пространств. Большая часть структурной теории алгебр фон Неймана может быть перенесена на алгебры JBW. В частности, факторы JBW — те, центр которых приведен к R — полностью понятны в терминах алгебр фон Неймана. За исключением исключительной алгебры Альберта, все факторы JWB могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, замкнутом в слабой операторной топологии. Из них спиновые факторы могут быть очень просто построены из вещественных гильбертовых пространств. Все остальные факторы JWB являются либо самосопряженной частью фактора фон Неймана, либо его подалгеброй неподвижных точек относительно периода 2*-антиавтоморфизма фактора фон Неймана. Кольца Йордана Йорданово кольцо — это обобщение йордановых алгебр, требующее лишь, чтобы йорданово кольцо было над общим кольцом, а не над полем. В качестве альтернативы йорданово кольцо можно определить как коммутативное неассоциативное кольцо, сохраняющее тождество Йордана. Йордановы супералгебры Йордановы супералгебры были введены Кацем, Кантором и Капланским. Это ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$-градуированные алгебры ${\displaystyle J_{0}\oplus J_{1}}$ где ${\displaystyle J_{0}}$ является йордановой алгеброй и ${\displaystyle J_{1}}$ имеет продукт типа «Ли» со значениями в ${\displaystyle J_{0}}$[7]. Любой ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ -градуированная ассоциативная алгебра ${\displaystyle A_{0}\oplus A_{1}}$ становится йордановой супералгеброй относительно градуированной йордановой скобки ${\displaystyle \{x_{i},y_{j}\}=x_{i}y_{j}+(-1)^{ij}y_{j}x_{i}\ .}$ Йордановы простые супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 были классифицированы Kac (1977). Они включают несколько семейств и некоторые исключительные алгебры, в частности: ${\displaystyle K_{3}}$ и ${\displaystyle K_{10}}$. J-структуры Понятие J-структуры было введено Springer (1998) для разработки теории йордановых алгебр с использованием линейных алгебраических групп и аксиом, где инверсия Йордана является базовой операцией, а тождество Хуа — базовым отношением. В характеристике, отличной от 2, теория J-структур по сути совпадает с теорией йордановых алгебр. Квадратичные йордановы алгебры Квадратичные йордановы алгебры являются обобщением (линейных) йордановых алгебр, введенных Маккриммоном. Фундаментальные тождества квадратичного представления линейной йордановой алгебры используются в качестве аксиом для определения квадратичной йордановой алгебры над полем произвольной характеристики. Существует единообразное описание конечномерных простых квадратичных йордановых алгебр, не зависящее от характеристики: в характеристике, отличной от 2, теория квадратичных йордановых алгебр сводится к теории линейных йордановых алгебр. См. также Алгебра Фрейденталя йорданова тройная система йорданова пара Конструкция Кантора — Кёхера — Титса Многообазие Скорца Примечания 1 2 Jacobson, 1968, pp. 35–36, specifically remark before (56) and theorem 8 Dahn, Ryan (1 января 2023). Nazis, migrs, and abstract mathematics. Physics Today. 76 (1): 44–50. Bibcode:2023PhT....76a..44D. doi:10.1063/PT.3.5158. McCrimmon, 2004, p. 100 McCrimmon, 2004, p. 99 1 2 Springer & Veldkamp, 2000 McCrimmon, 2004 McCrimmon, 2004, pp. 9–10 Ссылки Ichiro Satake (1980), Algebraic Structures of Symmetric Domains, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08271-4. Review Schafer, Richard D. (1996), An introduction to nonassociative algebras, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-68813-8, Zbl 0145.25601 Zhevlakov, K.A. Rings that are nearly associative / K.A. Zhevlakov, A.M. Slin'ko, I.P. Shestakov … [и др.]. — Academic Press, 1982. — ISBN 0-12-779850-1. Slin'ko, A.M. (2001), Йорданова алгебра, in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics (англ.), Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 Springer, Tonny A. (1998), Jordan algebras and algebraic groups, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-61970-0, ISBN 978-3-540-63632-8, MR 1490836, Zbl 1024.17018 Springer, Tonny A.; Veldkamp, Ferdinand D. (2000), Octonions, Jordan algebras and exceptional groups, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-12622-6, ISBN 978-3-540-66337-9, MR 1763974 Upmeier, H. (1985), Symmetric Banach manifolds and Jordan C-algebras, North-Holland Mathematics Studies, vol. 104, ISBN 0444876510 Upmeier, H. (1987), Jordan algebras in analysis, operator theory, and quantum mechanics, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, vol. 67, American Mathematical Society, ISBN 082180717X Дальнейшее чтение Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998), The book of involutions, Colloquium Publications, vol. 44, With a preface by J. Tits, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0904-0, Zbl 0955.16001 Ссылки Иорданова алгебра в PlanetMath Алгебры Йордана-Банаха и Йордана-Ли на PlanetMath