Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Аменабельная группа — локально компактная топологическая группа G, в которой возможно ввести операцию усреднения на ограниченных функциях на этой группе, инвариантную относительно умножения на любой элемент группы.
Содержание
История
Понятие было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году под немецким названием «messbar» («измеримый»).
Мотивировкой послужил парадокс удвоения шара.
Изначальное определение было дано в терминах конечно-аддитивной инвариантной меры на подмножествах группы G.
В 1949 году Махлон Дэй ввёл в употребление термин аменабельный (от английского «послушный»),
которое закрепилось[1].
Определение для локально компактных групп
Рассмотрим локально компактную хаусдорфову группу G с её мерой Хаара .
Рассмотрим банахово пространство в L(G) ограниченных измеримых функций.
Определение 1. Линейный функционал в Hom(L(G), R) называется усреднением, если имеет норму 1 и неотрицателен, то есть f 0 почти везде влечёт (f) 0.
Определение 2. Усреднение в Hom(L(G), R) называется левоинвариантным (соответственно, правоинвариантным),
если (g·f) = (f) для всех g в G, и f в L(G) по отношению к левому (соответственно, правому) сдвигу g·f(x) = f(g1·х)(соответственно, f·g(x) = f(х·g1)).
Определение 3. Локально компактная хаусдорфова группа называется аменабельной, если она допускает левoинвариантнoe (или правоинвариантное) усреднение.
Эквивалентные условия- Наличие фиксированной точки. Любое действие группы аффинными преобразованиями на компактном выпуклом подмножестве сепарабельного локально выпуклого топологического векторного пространства имеет неподвижную точку.[источник не указан 1475 дней]
- Критерий Дэя. Существует последовательность интегрируемых неотрицательных функций n с интегралом 1 на G такая, что g·n n стремится к 0 в слабой топологии на L1(G).
- Критерий Рейтера. Для любого конечного (или компактного) подмножества F в G существует интегрируемая неотрицательная функция с интегралом 1 такая, что g· является сколь угодно малой в L1(G) для любого g из F.
- Критерий Гликсберга — Райтера. Для любой f в L1(G), расстояние между 0 и замкнутой выпуклой оболочкой в L1(G) левых сдвигов f равно |f|.
- Критерий Фёлнера. Для каждого конечного (или компактного) подмножества F в G существует измеримое подмножество U в G с конечной положительной мерой Хаара такое, что значение сколь угодно близко к 1.
- Критерий Кестена. Левая свертка на L2(G) с симметричной вероятностной мерой на G дает оператор оператор нормы 1.
- Гомологический критерий Джонсона. Банахова алгебра А = L1(G) аменабельна как Банахова алгебра.
Случай дискретных групп
Определение аменабельности проще в случае дискретной группы[2], то есть когда группа оснащена дискретной топологией.
Определение. Дискретная группа G аменабельна, если существует левоинвариантная конечно-аддитивная вероятностная мера на G.
Это определение эквивалентно определению в терминах L(G), данному выше.
Мера на G позволяет определить интеграл ограниченных функций на G. Для ограниченной функции f: G R, интеграл
определяется как в случае интеграла Лебега.
(Обратите внимание, что некоторые свойства интеграла Лебега не выполняются, так как наша мера только конечно-аддитивна.)
Если группа допускает левоинвариантную меру, то она также допускает би-инвариантную меру. Действительно, по левоинвариантной мере строится правоинвариантная мера (A) = (A1).
Эти две меры определяют би-инвариантную меру следующим образом:
Эквивалентные условия для аменабельных групп также становятся проще в случае счетной дискретной группы .
Для такой группы следующие условия эквивалентны:[3]
- аменабельна.
- Существует левоинвариантный непрерывный функционал на () с (1) = 1.
- Существует множество вероятностных мер n на таких, что ||g · n — n||1 стремится к 0 для каждого g в .
- Существуют единичные векторы хn в 2() такие, что ||g · хn хn||2 стремится к 0 для каждого g в .
- Существуют конечные подмножества Sn из такие, что |g · Sn Sn| / |Sn| стремится к 0 для каждого g в .
- Если является симметричной вероятностной мерой на с системой образующих как носителем, то свёртка по определяет оператор нормы на 1 в 2().
- Если действует изометриями на сепарабельном банаховом пространстве Е, и f в (, Е*) — ограниченный 1-коцикл, то есть f(g·h) = f(g) +g·f(h), тогда f — 1-кограница, то есть f(g) = g· для некоторого в Е*.
Свойства- Замкнутая подгруппа аменабельной группы аменабельна.
- Факторгруппа аменабельной группы аменабельна.
- Расширение аменабельной группы аменабельно.
- В частности, конечное прямое произведение аменабельных групп аменабельно. Тем не менее, бесконечное произведения не обязаны быть аменабельными.
- Прямые пределы аменабельных групп аменабельны.
- В частности, если группа может быть записана в виде объединения возрастающей последовательности аменабельных подгрупп, то она аменабельна.
- Свойство аменабельности локально, то есть группа аменабельна тогда и только тогда, когда все её конечно-порождённые подгруппы аменабельны.
Примеры
Примеры выше называются элементарными аменабельными группами.
Они строятся из конечных и абелевых групп с помощью стандартного набора операций. Существование неэлементарных аменабельных групп гарантируется следующим примером.
Контрпримеры- Счётная дискретная группа, содержащая свободную подгруппу с двумя образующими, неаменабельна.
- Обратное утверждение является гипотезой фон Неймана, она была опровергнута Ольшанским в 1980 году с помощью его монстров Тарского.
- Для конечно порожденных линейных групп гипотеза фон Неймана верна по теореме Титса[5]: в каждой подгруппе GL(n, k) над полем k либо есть нормальная разрешимая подгруппа конечного индекса (и, следовательно, группа аменабельна), либо содержится свободная подгруппа с двумя образующими.
Связанные свойства- Свойство (T) Каждана[англ.] представляет собой, неформально говоря, полную противоположность аменабельности, за исключением случая компактных (в дискретном случае — конечных) групп[6].
- Софические группы[англ.] обобщают одновременно аменабельные и остаточно конечные группы; неформально говоря, софическая группа локально хорошо приближается конечной группой, ср. с критерием Фёлнера. На 2021 год неизвестно, включает ли этот класс все дискретные счётные группы[7][8].
Примечания
- M. M. Day. Means on semigroups and groups : [арх. 5 марта 2016] // Bull. Amer. Math. Soc.. — 1949. — Vol. 55. — P. 1054–1055.
- См. Greenleaf 1969, Pier 1984, Takesaki 2002a, Takesaki 2002b.
- Pier 1984
- Olshanskii, Alexander Yu.; Sapir, Mark V. Non-amenable finitely presented torsion-by-cyclic groups // Publ. Math. Inst. Hautes tudes Sci.. — 2002. — Vol. 96. — P. 43–169. — doi:10.1007/s10240-002-0006-7.
- Tits, J. (1972), «Free subgroups in linear groups», J. Algebra 20 (2): 250—270, doi:10.1016/0021-8693(72)90058-0
- Bachir Bekka, Pierre de la Harpe and Alain Valette. Kazhdan’s Property (T). — Cambridge University Press, 2008. — P. 11. — ISBN 978-0-521-88720-5. — ISBN 978-0-511-39377-8.
- Laurent Bartholdi. Chapter 11. Amenability of Groups and G-Sets // Sequences, Groups, and Number Theory. — Birkhuser, 2018. — P. 543. — ISBN 978-3-319-69151-0. — ISBN 978-3-319-69152-7.
- Lewis Bowen, Peter Burton. 1. Introduction. — In: Locally compact sofic groups : [англ.] // Israel Journal of Mathematics. — 2022. — Vol. 251. — P. 239–270. — arXiv:2106.09118. — doi:10.1007/s11856-022-2431-2.
Ссылки
|
|