Меню Главная Случайная статья Настройки Бета-распределение Материал из https://ru.wikipedia.org Бета-распределение в теории вероятностей и статистике — двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Используется для описания случайных величин, значения которых ограничены конечным интервалом. Содержание 1 Определение 2 Форма графика 3 Моменты 4 Связь с другими распределениями 5 Примечания 6 Литература Определение Пусть распределение случайной величины ${\displaystyle X}$ задаётся плотностью вероятности ${\displaystyle f_{X}}$, имеющей вид: ${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}$, где ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$ произвольные фиксированные параметры, и ${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx}$ — бета-функция. Тогда случайная величина ${\displaystyle X}$ имеет бета-распределение. Пишут: ${\displaystyle X\!\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$. Форма графика Форма графика плотности вероятности бета-распределения зависит от выбора параметров ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$. ${\displaystyle \alpha <1,\ \beta <1}$ — график выпуклый и уходит в бесконечность на границах (красная кривая); ${\displaystyle \alpha <1,\ \beta \geq 1}$ или ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta >1}$ — график строго убывающий (синяя кривая) ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta >2}$ — график строго выпуклый; ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta =2}$ — график является прямой линией; ${\displaystyle \alpha =1,\ 1<\beta <2}$ — график строго вогнутый; ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta =1}$ график совпадает с графиком плотности стандартного непрерывного равномерного распределения; ${\displaystyle \alpha =1,\ \beta <1}$ или ${\displaystyle \alpha >1,\ \beta \leq 1}$ — график строго возрастающий (зелёная кривая); ${\displaystyle \alpha >2,\ \beta =1}$ — график строго выпуклый; ${\displaystyle \alpha =2,\ \beta =1}$ — график является прямой линией; ${\displaystyle 1<\alpha <2,\ \beta =1}$ — график строго вогнутый; ${\displaystyle \alpha >1,\ \beta >1}$ — график унимодальный (пурпурная и чёрная кривые) В случае, когда ${\displaystyle \alpha =\beta }$, плотность вероятности симметрична относительно ${\displaystyle 1/2}$ (красная и пурпурная кривые), то есть ${\displaystyle f_{X}(1/2-x)=f_{X}(1/2+x),\;x\in [0,1/2]}$. Моменты Математическое ожидание и дисперсия случайной величины ${\displaystyle X}$, имеющей бета-распределение, имеют вид: ${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}$, ${\displaystyle \mathrm {D} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$. Моменты старших порядков случайной величины ${\displaystyle X}$, имеющей бета-распределение, имеют вид: ${\displaystyle \mathbb {E} [X^{k}]={\frac {\alpha ^{(k)}}{(\alpha +\beta )^{(k)}}}=\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}}$ где (x)(k) - возрастающий факториал. Связь с другими распределениями Бета-распределение является распределением Пирсона типа I[1]. Стандартное непрерывное равномерное распределение является частным случаем бета-распределения: ${\displaystyle \mathrm {U} [0,1]\equiv \mathrm {B} (1,1)}$. Бета-распределение широко используется в байесовской статистике, так как оно является сопряжённым априорным распределением для распределения Бернулли, биномиального и геометрического распределений. Если ${\displaystyle X,Y}$ — независимые гамма-распределённые случайные величины, причём ${\displaystyle X\sim \mathrm {\Gamma } (\alpha ,1)}$, а ${\displaystyle Y\sim \mathrm {\Gamma } (\beta ,1)}$, то ${\displaystyle {\frac {X}{X+Y}}\sim \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}$ . Примечания Королюк, 1985, с. 133. Литература Королюк В.С., Портенко Н.И.,Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. — 640 с.