Меню Главная Случайная статья Настройки Быстрота Материал из https://ru.wikipedia.org Быстрота (англ. rapidity, иногда применяются[1] также термины рапидити, гиперскорость и угол лоренцева поворота) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»). Поэтому в задачах, связанных с релятивистскими движениями (например, кинематика реакций частиц в физике высоких энергий), часто удобнее пользоваться формализмом быстрот, а не обычных скоростей. Содержание 1 Определение и свойства 1.1 Фактор Лоренца 2 Аддитивность быстроты 3 Геометрический смысл быстроты 4 Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту 5 См. также 6 Литература 7 Примечания Определение и свойства Быстрота выражается формулой: ${\displaystyle \theta =c\,\operatorname {Arth} {\frac {v}{c}}={\frac {c}{2}}\ln {\frac {1+{\dfrac {v}{c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}}},}$ где ${\displaystyle \theta }$ — быстрота, ${\displaystyle v}$ — обычная скорость, ${\displaystyle c}$ — скорость света, ${\displaystyle \operatorname {Arth} x}$ — ареатангенс. Ареатангенс (или гиперболический арктангенс) ${\displaystyle \operatorname {Arth} x\equiv {\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}}$ определён в области значений аргумента от 1 до +1; при ${\displaystyle x\to \pm 1}$ функция ${\displaystyle \operatorname {Arth} x\to \pm \infty .}$ Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от ${\displaystyle -c}$ до ${\displaystyle +c}$ меняется от ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle +\infty }$. Иногда вводят также параметр быстроты ${\displaystyle \varphi \equiv \theta /c\equiv \operatorname {Arth} {\frac {v}{c}}}$ — безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой (особенно при обычном в физике высоких энергий использовании системы единиц, где ${\displaystyle c=1}$, которая значительно упрощает формулы; при таком определении быстрота становится безразмерной и совпадает с параметром быстроты). В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости: ${\displaystyle \theta =v\left(1+{\frac {1}{3}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}+...\right)\approx v}$ при ${\displaystyle v\ll c}$. В ультрарелятивистском случае ${\displaystyle E\gg m}$ параметр быстроты можно выразить через энергию и продольный импульс ${\displaystyle p_{\|}=p\cos \alpha }$ (где  — угол вылета) следующим образом: ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp_{\|}}{E-cp_{\|}}}.}$ При этом энергия и продольный импульс частицы могут быть выражены через массу частицы, поперечный импульс ${\displaystyle p_{\perp }=p\sin \alpha }$ и параметр быстроты: ${\displaystyle E={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2}}}\operatorname {ch} \varphi ,}$ ${\displaystyle p_{\|}={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2}}}\operatorname {sh} \varphi .}$ Фактор Лоренца Связанная с быстротой часто используемая величина — фактор Лоренца, или лоренц-фактор, названный по имени Г. А. Лоренца и определяемый как ${\displaystyle \gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$ Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты: ${\displaystyle \gamma =\operatorname {ch} \varphi .}$ С увеличением скорости от 0 до ${\displaystyle c}$ лоренц-фактор ${\displaystyle \gamma }$ увеличивается от 1 до ${\displaystyle +\infty }$. Гиперболический синус параметра быстроты равен произведению лоренц-фактора и безразмерной скорости: ${\displaystyle \beta \gamma =\operatorname {sh} \varphi .}$ Аддитивность быстроты Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта ${\displaystyle K}$ две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна ${\displaystyle v_{1}}$, а скорость второй относительно первой равна ${\displaystyle v'_{2}}$ (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе ${\displaystyle K}$ через ${\displaystyle v_{2}}$. При малых (по сравнению со скоростью света ${\displaystyle c}$) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей ${\displaystyle v_{2}=v_{1}+v'_{2}}$. Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей ${\displaystyle v_{2}={\frac {v_{1}+v'_{2}}{1+{\dfrac {v_{1}v'_{2}}{c^{2}}}}}}$ отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты ${\displaystyle \theta \equiv c\,\mathrm {Arth} {\frac {v}{c}}}$. Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта ${\displaystyle K}$ равна сумме быстрот: ${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{1}+\theta '_{2}.}$ Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц. Вводится также полная быстрота ${\displaystyle \vartheta =c\cdot {\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp}{E-cp}},}$ аддитивная при преобразованиях Лоренца и представляющая собой расстояние в пространстве скоростей. Быстрота является продольной составляющей полной быстроты. Геометрический смысл быстроты В пространстве Минковского быстрота представляет собой угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта. В формализме Минковского (${\displaystyle x_{0}=ict}$) этот угол является мнимым. В формализме гиперболических комплексных чисел (известных также как двойные числа или паракомплексные числа — вариант комплексных чисел, в которых мнимая единица Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту Релятивистский импульс: ${\displaystyle p=mc\cdot \operatorname {sh} {\frac {\theta }{c}}=mc\cdot \operatorname {sh} \varphi ,}$ где: c — скорость света, = /c — параметр быстроты (безразмерная быстрота). Полная энергия: ${\displaystyle E=mc^{2}\cdot \operatorname {ch} {\frac {\theta }{c}}=mc^{2}\cdot \operatorname {ch} \varphi .}$ Скорость в СТО: ${\displaystyle v=c\cdot \operatorname {th} {\frac {\theta }{c}}=c\cdot \operatorname {th} \varphi .}$ Безразмерная скорость ${\displaystyle \beta =\operatorname {th} \varphi .}$ Релятивистский эффект Доплера (если вектор скорости совпадает с направлением на источник): ${\displaystyle 1+z=e^{\theta /c}=e^{\varphi },}$ где ${\displaystyle z}$ — параметр красного смещения. См. также Псевдобыстрота Лоренцевский буст Литература Бабурова О. В. Релятивистская кинематика и геометрия Лобачевского (рус.) // Соросовский образовательный журнал. — 2004. — Т. 8. — С. 77—84. Гришин В. Г. Быстрота // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 233. — 707 с. — 100 000 экз. Примечания Копылов Г. И. Основы кинематики резонансов. — М.: Наука, 1970.