Меню Главная Случайная статья Настройки Вполне несвязное пространство Материал из https://ru.wikipedia.org В топологии и связанных разделах математики вполне несвязное пространство (наследственно несвязное, дисперсное) — это топологическое пространство, которое не имеет нетривиальных связных подмножеств. В любом топологическом пространстве пустое множество и одноточечные множества — связные. Во вполне несвязном пространстве это единственные связные подмножества. Важным примером вполне несвязного пространства является множество Кантора. Другим примером, играющим ключевую роль в алгебраической теории чисел, является поле p-адических чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$. Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Свойства 4 Конструирование несвязного пространства 5 См. также 6 Ссылки Определение Топологическое пространство X называется вполне несвязным, если связными компонентами X являются только одноточечные множества. Примеры Дискретное пространство Множество рациональных чисел Множество иррациональных чисел Множество p-адических чисел. Более общо, вполне несвязными являются проконечные группы Множество Кантора Пространство Бэра (Теория множеств)[англ.] Прямая Зоргенфрея Нульмерное хаусдорфово пространство Нульмерное T1-пространство Экстремально несвязное хаусдорфово пространство Стоуновское пространство[англ.] Веер Кнастера — Куратовского представляет собой пример связного пространства, которое при удалении лишь одной точки становится вполне несвязным Свойства Подпространства, произведения и копроизведения вполне несвязных пространств вполне несвязны. Вполне несвязные пространства являются T1-пространствами в случае, если точки замкнуты. При непрерывном отображении образ вполне несвязного пространства, вообще говоря, не обязательно является вполне несвязным. Локально компактное хаусдорфово пространство является нульмерным тогда и только тогда, когда оно вполне несвязно. Любое вполне несвязное компактное метрическое пространство гомеоморфно подмножеству счетного произведения дискретных пространств. Конструирование несвязного пространства Пусть ${\displaystyle X}$ — произвольное топологическое пространство. Пусть ${\displaystyle x\sim y}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle y\in \mathrm {conn} (x)}$ (где ${\displaystyle \mathrm {conn} (x)}$ обозначает максимальное связное подмножество, содержащее ${\displaystyle x}$). Очевидно, отношение ${\displaystyle \sim }$ является отношением эквивалентности, следовательно можно построить соответствующее факторпространство ${\displaystyle X/{\sim }.}$ Топология на ${\displaystyle X/{\sim }}$ естественным образом индуцируется топлогией на ${\displaystyle X,}$ а именно, открытые подмножества ${\displaystyle X/{\sim }}$ — это в точности те множества классов эквивалентности, прообраз которых при отображении факторизации является открытым в ${\displaystyle X.}$ Приложив немного усилий, можно показать, что ${\displaystyle X/{\sim }}$ является вполне несвязным. Мы также имеем следующее универсальное свойство: если ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ — непрерывное отображение во вполне несвязное пространство, то оно единственным образом представимо в виде ${\displaystyle f={\breve {f}}\circ m,}$ где отображение ${\displaystyle {\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y}$ непрерывно, а ${\displaystyle m}$ — отображение факторизации. См. также Связное пространство Экстремально несвязное пространство Ссылки Totally-disconnected space — Encyclopedia of Mathematics, ISBN 1402006098.