Меню Главная Случайная статья Настройки Гипербола Киперта Материал из https://ru.wikipedia.org Гипербола Киперта — гипербола, определяемая по данному треугольнику. Если последний представляет собой треугольник общего положения, то эта гипербола является единственным коническим сечением, проходящим через его вершины, ортоцентр и центроид. Содержание 1 Определение через изогональное сопряжение 2 Определение через треугольники в трилинейных координатах 3 Трилинейные координаты произвольной точки N, лежащей на гиперболе Киперта 4 Уравнение гиперболы Киперта в трилинейных координатах 5 Известные точки, лежащие на гиперболе Киперта 6 Перечень точек, лежащих на гиперболе Киперта 7 Обобщение теоремы Лестера в виде теоремы Б. Гиберта (2000) 8 История 9 Свойства 10 См. также 11 Примечания 12 Литература Определение через изогональное сопряжение Гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая прямой, проходящей через точку Лемуана и центр описанной окружности данного треугольника. Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония. Иначе говоря, гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая оси Брокара данного треугольника. Определение через треугольники в трилинейных координатах Определение через треугольники в трилинейных координатах[1]: Если три треугольника ${\displaystyle XBC}$, ${\displaystyle YCA}$ и ${\displaystyle ZAB}$ построены на сторонах треугольника ${\displaystyle ABC}$, являются подобными, равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все они построены либо с внешней стороны, либо с внутренней стороны), то прямые ${\displaystyle AX}$, ${\displaystyle BY}$ и ${\displaystyle CZ}$ пересекаются в одной точке ${\displaystyle N}$. Тогда гипербола Киперта может быть определена виде геометрического места точек ${\displaystyle N}$ (см. рис.). Если общий угол при основании равен ${\displaystyle \theta }$, то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты: ${\displaystyle X(-\sin \theta :\sin(C+\theta ):\sin(B+\theta ))}$ ${\displaystyle Y(\sin(C+\theta ):-\sin \theta :\sin(A+\theta ))}$ ${\displaystyle Z(\sin(B+\theta ):\sin(A+\theta ):-\sin \theta )}$ Трилинейные координатыпроизвольной точки N, лежащей на гиперболе Киперта ${\displaystyle (\operatorname {cosec} (A+\theta ):\operatorname {cosec} (B+\theta ):\operatorname {cosec} (C+\theta ))}$. Уравнение гиперболы Киперта в трилинейных координатах Геометрическое место точек ${\displaystyle N}$ при изменении угла при основании треугольников ${\displaystyle \theta }$ между ${\displaystyle -\pi /2}$ и ${\displaystyle \pi /2}$ является гиперболой Киперта с уравнением ${\displaystyle {\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0}$, где ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ — трилинейные координаты точки ${\displaystyle N}$ в треугольнике. Известные точки, лежащие на гиперболе Киперта Среди точек, лежащих на гиперболе Киперта, имеются такие важные точки треугольника[2]: Значение ${\displaystyle \theta }$ Точка ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle G}$, центроид треугольника ${\displaystyle ABC}$ (X2) ${\displaystyle \pi /2}$ (или ${\displaystyle -\pi /2}$) ${\displaystyle O}$, ортоцентр треугольника ${\displaystyle ABC}$ (X4) ${\displaystyle \operatorname {arctg} [\operatorname {tg} (A/2)\operatorname {tg} (B/2)\operatorname {tg} (C/2)]}$[3] Центр Шпикера (X10) ${\displaystyle \pi /4}$ Внешняя точка Вектена (Vecten points) (X485) ${\displaystyle -\pi /4}$ Внутренняя точка Вектена (Vecten points) (X486) ${\displaystyle \pi /6}$ ${\displaystyle N_{1}}$, первая точка Наполеона (X17) ${\displaystyle -\pi /6}$ ${\displaystyle N_{2}}$, вторая точка Наполеона (X18) ${\displaystyle \pi /3}$ ${\displaystyle F_{1}}$, первая точка Ферма (X13) ${\displaystyle -\pi /3}$ ${\displaystyle F_{2}}$, вторая точка Ферма (X14) ${\displaystyle -A}$ (если ${\displaystyle A<\pi /2}$) ${\displaystyle \pi -A}$ (если ${\displaystyle A>\pi /2}$) Вершина ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -B}$ (если ${\displaystyle B<\pi /2}$) ${\displaystyle \pi -B}$ (если ${\displaystyle B>\pi /2}$) Вершина ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle -C}$ (если ${\displaystyle C<\pi /2}$) ${\displaystyle \pi -C}$ (если ${\displaystyle C>\pi /2}$) Вершина ${\displaystyle C}$ Перечень точек, лежащих на гиперболе Киперта Гипербола Киперта проходит через следующие центры треугольника X(i)[3]: для i=2, (Центроид треугольника), i=4 (Ортоцентр), i=10 (Центр Шпикера; то есть, инцентр треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника ABC[1]), i=13 (первая точка Ферма), i=14 (вторая точка Ферма), i=17 (первая точка Наполеона), i=18 (вторая точка Наполеона), i=76 (третья точка Брокара), i=83 (точка, изогонально сопряжённая серединной точке между точками Брокара[1]), i=94, 96, i=98 (Точка Тарри=Tarry point), i=226, 262, 275, 321, i=485 (Внешняя точка Вектена), i=486 (Внутренняя точка Вектена), i=598, 671, 801, 1029, 1131, 1132, i=1139 (внутренняя точка пятиугольника=inner pentagon point), i=1140 (внешняя точка пятиугольника=outer pentagon point), i=1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593, i=2671 (первая точка золотого арбелоса=first golden arbelos point), i=2672 (вторая точка золотого арбелоса=second golden arbelos point), i=2986, 2996 Обобщение теоремы Лестера в виде теоремы Б. Гиберта (2000) Теорема Б. Гиберта (2000) обобщает теорему об окружности Лестера, а именно: любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки Ферма[4][5]. История Название данная гипербола получила в честь открывшего её немецкого математика Фридриха Вильгельма Августа Людвига Киперта (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846—1934)[1]. Свойства Гипербола Киперта — равносторонняя или равнобочная (то есть её асимптоты перпендикулярны), следовательно, её центр, обозначенный в энциклопедии центров треугольника как Х(115), лежит на окружности Эйлера. См. также Треугольник Парабола Киперта Примечания 1 2 3 4 Eddy, Fritsch, 1994, p. 188—205. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн. — 2011. — С. 125—126. 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. B. Gibert (2000): [ Message 1270]. Entry in the Hyacinthos online forum, 2000-08-22. Accessed on 2014-10-09. Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations Архивная копия от 7 октября 2021 на Wayback Machine. Forum Geometricorum, volume 10, pages 175—209. MR: 2868943 Литература