Меню Главная Случайная статья Настройки Центр Шпикера Материал из https://ru.wikipedia.org Центр Шпикера — замечательная точка треугольника, определяемая как центр масс периметра треугольника; то есть центр тяжести однородной проволоки, проходящей по периметру треугольника[1][2]. Точка названа в честь немецкого геометра XIX века Теодора Шпикера[англ.][3]. В Энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга указана как X(10)[4]. Свойства Центр Шпикера является инцентром серединного треугольника[1]. То есть центр Шпикера ${\displaystyle \triangle ABC}$ является центром окружности, вписанной в серединный треугольник ${\displaystyle \triangle ABC}$ (в его дополнительный треугольник)[5]. Эта окружность известна как окружность Шпикера[англ.]. Центр Шпикера является центром кливеров треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$[1]. То есть все три кливера треугольника пересекаются в одной точке — в центре Шпикера ${\displaystyle S}$. (Кливер треугольника — это отрезок, один конец которого находится в середине одной из сторон треугольника, второй конец находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.) Центр Шпикера, инцентр (${\displaystyle I}$), центроид (${\displaystyle G}$) и точка Нагеля (${\displaystyle M}$) треугольника лежат на одной прямой — на второй прямой Эйлера (прямой Эйлера — Нагеля). Более того[6], ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}IS=SM;\\IG=2GS;\\MG=2IG.\end{matrix}}\right.}$ Центр Шпикера лежит на гиперболе Киперта треугольника. Центр Шпикера ${\displaystyle \triangle ABC}$ является точкой пересечений прямых ${\displaystyle AX}$, ${\displaystyle BY}$ и ${\displaystyle CZ}$, где ${\displaystyle \triangle XBC}$, ${\displaystyle \triangle YCA}$ и ${\displaystyle \triangle ZAB}$ — подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$снаружи, имеющие один и тот же угол у основания ${\displaystyle \mathrm {arctg} \,\left(\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {C}{2}}\right)}$[7]. Это свойство выполняется не только для центра Шпикера. Например, первая точка Наполеона ${\displaystyle N_{1}}$, как и центр Шпикера, является точкой пересечений прямых ${\displaystyle AX}$, ${\displaystyle BY}$и ${\displaystyle CZ}$, где ${\displaystyle \triangle XBC}$, ${\displaystyle \triangle YCA}$ и ${\displaystyle \triangle ZAB}$ — подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$снаружи, имеющие один и тот же угол у основания ${\displaystyle 30^{\circ }}$. Центр Шпикера является радикальным центром трёх вневписанных окружностей[8]. трилинейные координаты точки ${\displaystyle S}$[4]: ${\displaystyle (bc(b+c),\;ca(c+a),\;ab(a+b))}$. Барицентрические координаты центра Шпикера[4]: ${\displaystyle (b+c,c+a,a+b)}$. Примечания 1 2 3 Honsberger, 1995, с. 3–4. Kimberling, Clark. Spieker center  (неопр.). Дата обращения: 5 мая 2012. Архивировано 16 мая 2012 года. Spieker, 1888. 1 2 3 Kimberling, Clark. Encyclopedia of Triangle Centers  (неопр.). Дата обращения: 5 мая 2012. Архивировано 24 ноября 2015 года. Серединный треугольник данного ${\displaystyle \triangle ABC}$ называют дополнительным треугольником треугольника ABC A. Bogomolny. Nagel Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles  (неопр.). Дата обращения: 5 мая 2012. Архивировано 10 мая 2012 года. Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Odenhal, 2010, с. 35–40. Литература Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10. Theodor Spieker. Lehrbuch der ebenen Geometrie. — Potsdam, Germany, 1888.