Меню Главная Случайная статья Настройки Точки Наполеона Материал из https://ru.wikipedia.org Точки Наполеона в геометрии — пара специальных точек на плоскости треугольника. Легенда приписывает обнаружение этих точек французскому императору Наполеону I, однако его авторство сомнительно[1]. Точки Наполеона относятся к замечательным точкам треугольника и перечислены в Энциклопедии центров треугольника как точки X(17) и X(18). Название «точки Наполеона» применяется также к различным парам центров треугольника, более известных как изодинамические точки[2]. Содержание 1 Определение точек 1.1 Первая точка Наполеона 1.2 Вторая точка Наполеона 2 Свойства 3 Обобщения 3.1 Равнобедренные треугольники 3.2 История 3.3 Замечание 3.4 Подобные треугольники 3.5 Произвольные треугольники 4 Об открытии точек Наполеона 5 См. также 6 Примечания 7 Литература Определение точек Первая точка Наполеона Пусть ABC — любой треугольник на плоскости. На сторонах BC, CA, AB треугольника строим внешние правильные треугольники DBC, ECA и FAB соответственно. Пусть центроиды этих треугольников — X, Y и Z соответственно. Тогда прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке, и эта точка N1 является первой (или внешней) точкой Наполеона треугольника ABC. Треугольник XYZ называется внешним треугольником Наполеона треугольника ABC. Теорема Наполеона утверждает, что этот треугольник является правильным. В Энциклопедии центров треугольника первая точка Наполеона обозначена как X(17).[3] Трилинейные координаты точки N1: ${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A-{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(B-{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)\end{aligned}}}$ Барицентрические координаты точки N1: ${\displaystyle \left(a\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right),c\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)}$ Вторая точка Наполеона Пусть ABC — любой треугольник на плоскости. На сторонах BC, CA, AB треугольника строим внутренние равносторонние треугольники DBC, ECA и FAB соответственно. Пусть X, Y и Z — центроиды этих треугольников соответственно. Тогда прямые AX, BY а CZ пересекаются в одной точке, и эта точка N2 является второй (или внутренней) точкой Наполеона треугольника ABC. Треугольник XYZ называется внутренним треугольником Наполеона треугольника ABC. Теорема Наполеона утверждает, что этот треугольник является правильным. В Энциклопедии центров треугольника вторая точка Наполеона обозначена как X(18).[3] Трилинейные координаты точки N2: ${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right)\right)\end{aligned}}}$ Барицентрические координаты точки N2: ${\displaystyle \left(a\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right),c\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)}$ Две точки, тесно связанные с точками Наполеона — это точки Ферма (X13 и X14 в энциклопедии точек). Если вместо прямых, соединяющих центроиды равносторонних треугольников с соответствующими вершинами, провести прямые, соединяющие вершины равносторонних треугольников с соответствующими вершинами исходного треугольника, так построенные три прямые будут пересекаться в одной точке. Точки пересечения называются точками Ферма и обозначаются как F1 и F2. Пересечение прямой Ферма (то есть прямой, соединяющей две точки Ферма) и прямой Наполеона (то есть прямой, соединяющей две точки Наполеона) является точкой Лемуана треугольника (точка X6 в энциклопедии центров). Свойства Гипербола Киперта — описанная гипербола, проходящая через центроид и ортоцентр. Если на сторонах треугольника построить подобные равнобедренные треугольники (наружу или внутрь), а затем соединить их вершины с противоположными вершинами исходного треугольника, то три такие прямые пересекутся в одной точке, лежащей на гиперболе Киперта. В частности, на этой гиперболе лежат точки Торричелли и точки Наполеона (точки пересечения чевиан, соединяющих вершины с центрами построенных на противоположных сторонах правильных треугольников)[4]. Обобщения Результат о существовании точек Наполеона может быть обобщён различным образом. При определении точек Наполеона мы использовали равносторонние треугольники, построенные на сторонах треугольника ABC, а затем выбирали центры X, Y и Z этих треугольников. Эти центры можно рассматривать как вершины равнобедренных треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC с углом при основании /6 (30 градусов). Обобщения рассматривают другие треугольники, которые, будучи построенными на сторонах треугольника ABC, имеют аналогичные свойства, то есть прямые, соединяющие вершины построенных треугольников с соответствующими вершинами исходного треугольника, пересекаются в одной точке. Равнобедренные треугольники Это обобщение утверждает:[5] Если три треугольника XBC, YCA и ZAB построены на сторонах треугольника ABC, являются подобными, равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все построены с внешней стороны, либо все построены с внутренней стороны), то прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке N. Если общий угол при основании равен ${\displaystyle \theta }$, то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты. ${\displaystyle X(-\sin \theta ,\sin(C+\theta ),\sin(B+\theta ))}$ ${\displaystyle Y(\sin(C+\theta ),-\sin \theta ,\sin(A+\theta ))}$ ${\displaystyle Z(\sin(B+\theta ),\sin(A+\theta ),-\sin \theta )}$ Трилинейные координаты точки N ${\displaystyle (\csc(A+\theta ),\csc(B+\theta ),\csc(C+\theta ))}$ Несколько частных случаев. Значение ${\displaystyle \theta }$ Точка ${\displaystyle N}$ 0 G, центроид треугольника ABC (X2) /2 (или, — /2) O, ортоцентр треугольника ABC(X4) ${\displaystyle \mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]}$[6] Центр Шпикера (X10) /4 Внешняя точка Вектена(Vecten points) (X485) — /4 Внутренняя точка Вектена (Vecten points) (X486) /6 N1, первая точка Наполеона (X17) - /6 N2, вторая точка Наполеона (X18) /3 F1, первая точка Ферма (X13) - /3 F2, вторая точка Ферма (X14) - A (если A < /2)  — A (если A > /2) Вершина A - B (если B < /2)  — B (если B > /2) Вершина B - C (если C < /2)  — C (если C > /2) Вершина C Более того, геометрическое место точек N при изменении угла при основании треугольников ${\displaystyle \theta }$ между -/2 и /2 является гиперболой ${\displaystyle {\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0,}$ где ${\displaystyle x,y,z}$ — трилинейные координаты точки N в треугольнике. История Эта гипербола называется гиперболой Киперта (в честь открывшего её немецкого математика Фридриха Вильгельма Августа Людвига Киперта (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert), 1846—1934 [5]). Эта гипербола является единственным коническим сечением, проходящим через точки A, B, C, G и O. Замечание Очень похожим свойством обладает Центр Шпикера. Центр Шпикера S является точкой пересечений прямых AX, BY и CZ, где треугольники XBC, YCA и ZAB подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника ABC снаружи, имеющие один и тот же угол у основания ${\displaystyle \mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]}$[6]. Подобные треугольники Чтобы три прямые AX, BY и CZ пересекались в одной точке, треугольники XBC, YCA и ZAB, построенные на сторонах треугольника ABC, не обязательно должны быть равнобедренными[7]. Если подобные треугольники XBC, AYC и ABZ построены с внешних сторон на сторонах произвольного треугольника ABC, то прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке. Произвольные треугольники Прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке даже при более слабых условиях. Следующее условие является одним из наиболее общих условий, чтобы прямые AX, BY и CZ пересекались в одной точке[7]. Если треугольники XBC, YCA и ZAB построены с внешней стороны на сторонах треугольника ABC так, что CBX = ABZ, ACY = BCX, BAZ = CAY, то прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке. Об открытии точек Наполеона Коксетер и Грейтцер формулируют теорему Наполеона следующим образом: Если равносторонние треугольники построены с внешней стороны на сторонах любого треугольника, то их центры образуют равносторонний треугольник. Они замечают, что Наполеон Бонапарт был немного математиком и имел большой интерес к геометрии, однако они сомневаются, что он был достаточно геометрически образован, чтобы открыть теорему, приписываемую ему[1]. Самая ранняя сохранившаяся публикация с точками — статья в ежегодном журнале «The Ladies’ Diary» (Женский дневник, 1704—1841) в номере за 1825 год. Теорема входила в ответ на вопрос, посланный У. Резенфордом, однако в этой публикации Наполеон не упоминается. В 1981 году немецкий историк математики Христоф Скриба (Christoph J. Scriba) опубликовал результаты исследования вопроса приписывания точек Наполеону в журнале Historia Mathematica[8]. См. также Теорема Ван-Обеля Точка Ферма Точки Вектена — пара треугольных центров, построенных аналогично точкам Наполеона с использованием квадратов вместо равносторонних треугольников. Примечания 1 2 Coxeter, Greitzer, 1967, с. 61–64. Rigby, 1988, с. 129–146. 1 2 Kimberling, Clark. Encyclopedia of Triangle Centers  (неопр.). Дата обращения: 2 мая 2012. Архивировано 19 апреля 2012 года. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн. — 2011. — С. 125—126. 1 2 Eddy, Fritsch, 1994, с. 188–205. 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. 1 2 de Villiers, 2009, с. 138–140. Scriba, 1981, с. 458–459. Литература J. F. Rigby. Napoleon revisited // Journal of Geometry. — 1988. — Т. 33, вып. 1—2. — С. 129—146. — doi:10.1007/BF01230612. The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Mathematics Magazine. — 1994. — Т. 67 June, вып. 3. — doi:10.2307/2690610. Christoph J Scriba. Wie kommt 'Napoleons Satz' zu seinem namen? // Historia Mathematica. — 1981. — Т. 8, вып. 4. — doi:10.1016/0315-0860(81)90054-9. Stachel, Hellmuth. Napoleon's Theorem and Generalizations Through Linear Maps (англ.) // Contributions to Algebra and Geometry : journal. — 2002. — Vol. 43, no. 2. — P. 433—444. Grnbaum, Branko. A relative of "Napoleon's theorem" (неопр.) // Geombinatorics. — 2001. — Т. 10. — С. 116—121. Katrien Vandermeulen, et al. Napoleon, a mathematician ?  (неопр.) Maths for Europe. Дата обращения: 25 апреля 2012. Архивировано из оригинала 30 августа 2012 года. Bogomolny, Alexander. Napoleon's Theorem  (неопр.). Cut The Knot! An interactive column using Java applets. Дата обращения: 25 апреля 2012. Napoleon's Thm and the Napoleon Points  (неопр.). Дата обращения: 24 апреля 2012. Архивировано из оригинала 21 января 2012 года. Weisstein, Eric W. Napoleon Points  (неопр.). From MathWorld—A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 24 апреля 2012. Philip LaFleur. Napoleon’s Theorem  (неопр.). Дата обращения: 24 апреля 2012. Архивировано 7 сентября 2012 года. Wetzel, John E. Converses of Napoleon's Theorem  (неопр.) (апрель 1992). Дата обращения: 24 апреля 2012. Архивировано 29 апреля 2014 года.