Меню Главная Случайная статья Настройки Гиперболоидная модель Материал из https://ru.wikipedia.org Гиперболоидная модель, известная также как модель Минковского или лоренцева модель (Герман Минковский, Хендрик Лоренц), является моделью n-мерной геометрии Лобачевского, в которой каждая точка представлена точкой на верхней поверхности ${\displaystyle S^{+}}$ двуполостного гиперболоида в (n+1)-мерном пространстве Минковского а m-плоскости представлены пересечением (m+1)-плоскостей в пространстве Минковского с S+. Функция гиперболического расстояния в этой модели удовлетворяет простому выражению. Гиперболоидная модель n-мерного гиперболического пространства тесно связана с моделью Бельтрами — Клейна и дисковой моделью Пуанкаре, так как они являются проективными моделями в смысле, что группа движений[англ.] является подгруппой проективной группы. Содержание 1 Квадратичная форма Минковского 2 Прямые 3 Движения 4 История 5 См. также 6 Примечания 7 Литература Квадратичная форма Минковского Если ${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})}$ являются векторами в (n + 1)-мерном координатном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, квадратичная форма Минковского определяется как ${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}.}$ Вектора ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n+1}}$, такие, что ${\displaystyle Q(v)=1}$, образуют n-мерный гиперболоид S, состоящий из двух связных компонент, или листов — верхний, или будущее, лист ${\displaystyle S^{+}}$, где ${\displaystyle x_{0}>0}$ и нижний, или прошлое, лист ${\displaystyle S^{-}}$, где ${\displaystyle x_{0}<0}$. Точки n-мерной гиперболоидной модели являются точками на листе будущего ${\displaystyle S^{+}}$. Билинейная форма Минковского B является поляризацией квадратичной формы Минковского Q, ${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.}$ Или в явном виде, ${\displaystyle B((x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}))=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ldots -x_{n}y_{n}.}$ Гиперболическое расстояние между двумя точками u и v пространства ${\displaystyle S^{+}}$ задаётся формулой ${\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {\mathrm {arch} } (B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} ))}$, где arch является обратной функцией гиперболического косинуса. Прямые Прямая в гиперболическом n-пространстве моделируется геодезической на гиперболоиде. Геодезическая на гиперболоиде является (непустым) пересечением с двумерным линейным подпространством (включая начало координат) n+1-мерного пространства Минковского. Если мы возьмём в качестве u и v базисные вектора линейного подпространства с ${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=1}$ ${\displaystyle B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-1}$ ${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0}$ и используем w как параметр для точек на геодезической, то ${\displaystyle \mathbf {u} \,\mathrm {ch} \,w+\mathbf {v} \,\mathrm {sh} \,w}$ будет точкой на геодезической[1]. Более обще, k-мерная «плоскость» в гиперболическом n-пространстве будет моделироваться (непустым) пересечением гиперболоида с k+1-мерным линейным подпространством (включая начало координат) пространства Минковского. Движения Неопределённая ортогональная группа O(1,n), называемая также (n+1)-мерной группой Лоренца, является группой Ли вещественных (n+1)(n+1) матриц, которая сохраняет билинейную форму Минковского. Другими словами, это группа линейных движений пространства Минковского. В частности, эта группа сохраняет гиперболоид S. Напомним, что неопределённые ортогональные группы имеют четыре связные компоненты, соответствующие обращению или сохранению ориентации на каждом подпространстве (здесь — 1-мерном и n-мерном), и образуют четверную группу Клейна. Подгруппа O(1,n), которая сохраняет знак первой координаты, является ортохронной группой Лоренца, обозначаемой O+(1,n), и имеет две компоненты, соответствующие сохранению или обращению ориентации подпространства. Её подгруппа SO+(1,n), состоящая из матриц с определителем единица, является связной группой Ли размерности n(n+1)/2, которая действует на S+ линейными автоморфизмами и сохраняет гиперболическое расстояние. Это действие транзитивно и является стабилизатором вектора (1,0,…,0), состоящим из матриц вида ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix}}}$ где ${\displaystyle A}$ принадлежит компактной специальной ортогональной группе SO(n) (обобщающей группу вращений SO(3) для n = 3). Отсюда следует, что n-мерное гиперболическое пространство может быть представлено как однородное пространство и риманово симметрическое пространство ранга 1, ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n).}$ Группа SO+(1,n) является полной группой сохраняющих ориентацию движений n-мерного гиперболического пространства. История В нескольких статьях между 1878 и 1885 Вильгельм Киллинг[2][3][4] использовал представление геометрии Лобачевского, которое он приписывает Карлу Вейерштрассу. В частности, он обсуждает квадратичные формы, такие как ${\displaystyle k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2}}$ или для произвольных размерностей ${\displaystyle k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}}$, где ${\displaystyle k}$ является двойственной мерой кривизны, ${\displaystyle k^{2}=\infty }$ означает евклидову геометрию, ${\displaystyle k^{2}>0}$ эллиптическую геометрию, а ${\displaystyle k^{2}<0}$ означает гиперболическую геометрию. Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Киллинг»[англ.]. Согласно Джереми Грею (1986)[5] Пуанкаре использовал гиперболоидную модель в его персональных заметках в 1880. Пуанкаре опубликовал свои результаты в 1881, в которых он обсуждает инвариантность квадратичной формы ${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}-\zeta ^{2}=-1}$[6]. Грей показывает, где гиперболоидная модель явно упоминается в более поздних работах Пуанкаре[7]. Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Пуанкаре»[англ.]. Также Хомершем Кокс в 1882[8][9] использовал координаты Вейерштрасса (без использования этого имени), удовлетворяющие соотношению ${\displaystyle z^{2}-x^{2}-y^{2}=1}$, а также соотношению ${\displaystyle w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}$. Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Кокс»[англ.]. Далее модель использовали Альфред Клебш и Фердинанд фон Линдеман в 1891 при обсуждении соотношений ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}}$ и ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}}$[10]. Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Линдерман»[англ.]. Координаты Вейерштрасса использовали также Герард (1892), Хаусдорф (1899), Вудс (1903) и Либман (1905)[англ.]. Позднее (1885) Киллинг утверждал, что фраза координаты Вейерштрасса соотносится с элементами гиперболоидной модели следующим образом: если задано скалярное произведение ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, координаты Вейерштрасса точки ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ равны ${\displaystyle (x,{\sqrt {1+\langle x,x\rangle }})\in \mathbb {R} ^{n+1},}$ что можно сравнить с выражением ${\displaystyle (x,{\sqrt {1-\langle x,x\rangle }})\in \mathbb {R} ^{n+1}}$ для модели полусферы[11]. Как метрическое пространство гиперболоид рассматривал Александр Макфарлейн[англ.] в книге Papers in Space Analysis (1894). Он заметил, что точки на гиперболоиде можно записать как ${\displaystyle \mathrm {sh} \,A+\alpha \,\mathrm {sh} \,A,}$ где является базисным вектором, ортогональным оси гиперболоида. Например, он получил гиперболический закон косинусов[англ.] путём использования алгебры физики[англ.][1]. Х. Дженсен сфокусирвался на гиперболоидной модели в статье 1909 года «Представление гиперболической геометрии на двухполостном гиперболоиде»[12]. В 1993 У. Ф. Рейнольдс изложил раннюю историю модели в статье, напечатанной в журнале American Mathematical Monthly[13]. Будучи общепризнанной моделью в двадцатом веке, её отождествил с Geschwindigkeitsvectoren (нем., векторами скорости) Герман Минковский в пространстве Минковского. Скотт Вальтер в статье 1999 «Неевклидов стиль специальной теории относительности»[14] упоминает осведомлённость Минковского, но ведёт происхождение модели к Гельмгольцу, а не к Вейерштрассу или Киллингу. В ранние годы релятивистскую гиперболоидную модель использовал Владимир Варичак[англ.] для объяснения физики скорости. В его докладе в Немецком Математическом обществе в 1912 он ссылался на координаты Вейерштрасса[15]. См. также Конформно-евклидова модель Гиперболические кватернионы[англ.] Примечания 1 2 Macfarlane, 1894. Killing, 1878, с. 72-83. Killing, 1880, с. 265-287. Killing, 1885. Gray, 1986, с. 271-2. Poincar, 1881, с. 132 -138. Poincar, 1887, с. 71-91. Cox, 1881, с. 178-192. Cox, 1882, с. 193-215. Lindemann, 1891, с. 524. Deza E., Deza M., 2006. Jansen, 1909, с. 409-440. Reynolds, 1993, с. 442-55. Scott, 1999, с. 91–127. Variak, 1912, с. 103–127. Литература Killing W. Ueber zwei Raumformen mit constanter positiver Krmmung (нем.) // Journal fr die reine und angewandte Mathematik. — 1878. — Bd. 86. — S. 72-83. Killing W. Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen (нем.) // Journal fr die reine und angewandte Mathematik. — 1880. — Bd. 89. — S. 265-287. Killing W. Die nicht-euklidischen Raumformen (нем.). — 1885. Poincar H. Sur les applications de la gomtrie non-euclidienne la thorie des formes quadratiques (фр.) // Association franaise pour l'avancement des sciences. — 1881. — Vol. 10. — P. 132-138. Cox H. Homogeneous coordinates in imaginary geometry and their application to systems of forces (англ.) // The quarterly journal of pure and applied mathematics. — 1881. — Vol. 18, iss. 70. — P. 178-192. Cox H. Homogeneous coordinates in imaginary geometry and their application to systems of forces (continued) (англ.) // The quarterly journal of pure and applied mathematics. — 1882. — Vol. 18, iss. 71. — P. 193-215. Jansen H. Abbildung hyperbolische Geometrie auf ein zweischaliges Hyperboloid (нем.) // Mitt. Math. Gesellsch Hamburg. — 1909. — H. 4. — S. 409-440. William F. Reynolds. Hyperbolic geometry on a hyperboloid (англ.) // American Mathematical Monthly. — 1993. — Iss. 100. — P. 442-55. — . Variak V. On the Non-Euclidean Interpretation of the Theory of Relativity (англ.) // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1912. — Vol. 21. — P. 103–127.