Меню Главная Случайная статья Настройки Группа Лоренца Материал из https://ru.wikipedia.org Группа Лоренца — группа преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами)[1]. Группа Лоренца состоит из однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени: ${\displaystyle x_{\nu }'=\sum _{\mu }L_{\nu \mu }x_{\mu },}$ ${\displaystyle x_{0}=ct,\quad x_{1}=x,\quad x_{2}=y,\quad x_{3}=z,}$ которые оставляют инвариантной квадратичную форму с сигнатурой (1, 3), которая является математическим выражением четырёхмерного интервала ${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$[2]. В частности, группа Лоренца включает пространственные повороты в трёх плоскостях ${\displaystyle xy,\ yz,\ zx}$, лоренцевы преобразования ${\displaystyle xt,\ yt,\ zt}$, отражения пространственных осей ${\displaystyle x,y,z}$: ${\displaystyle x\to -x,\ y\to -y,\ z\to -z}$ и все их произведения. Группа Лоренца — частный случай неопределённой ортогональной группы[3], и поэтому обозначается ${\displaystyle O(1,3)}$ (либо ${\displaystyle O(3,1)}$, что соответствует квадратичной форме с противоположными знаками и переставленными координатами), ${\displaystyle O(1,3;\mathbb {R} )}$ или ${\displaystyle \mathrm {O} _{1,3}(\mathbb {R} )}$, а также ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$[2]. Специальная группа Лоренца или собственная группа Лоренца ${\displaystyle SO(1,3)}$ — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен ±1). Ортохронная группа Лоренца ${\displaystyle O_{\uparrow }(1,3)}$ (также обозначается ${\displaystyle \mathrm {O} _{1,3}^{+}(\mathbb {R} )}$, и она может быть отождествлена с проективной (неопределённой) ортогональной группой[англ.] ${\displaystyle \mathrm {PO} _{1,3}(\mathbb {R} )}$), специальная (или собственная) ортохронная группа Лоренца ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,3)}$ — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты ${\displaystyle x^{0}}$). Группа ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,3)}$, единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса. Иногда условие ортохронности включают в определение группы Лоренца, в этом случае группа, включающая преобразования, которые меняют направление времени, может называться общей группой Лоренца[4][5]. Иногда также под группой Лоренца подразумевают собственную ортохронную группу Лоренца[6]. Содержание 1 Представления группы Лоренца 2 Примечания 3 Литература 4 См. также Представления группы Лоренца Симметрия в физике Преобразование Соответствующая инвариантность Соответствующий закон сохранения Трансляции времени Однородность времени …энергии C, P, CP и T-симметрии Изотропность времени …чётности Трансляции пространства Однородность пространства …импульса Вращения пространства Изотропность пространства …момента импульса Группа Лоренца (бусты) Относительность лоренц-ковариантность …движения центра масс ~ Калибровочное преобразование Калибровочная инвариантность …заряда Пусть физическая величина (например, четырёхмерный вектор энергии-импульса или потенциал электромагнитного поля) описывается многокомпонентной функцией координат ${\displaystyle U_{\alpha }(x)}$. При переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты физической величины линейно преобразуются друг через друга: ${\displaystyle u_{\beta }'=\sum _{\alpha }\Lambda _{\beta \alpha }u_{\alpha }(x)}$. При этом матрица ${\displaystyle \Lambda }$ имеет ранг ${\displaystyle \nu }$, равный числу компонент величины ${\displaystyle u_{\alpha }}$. Каждому элементу группы Лоренца ${\displaystyle P}$ соответствует линейное преобразование ${\displaystyle \Lambda (P)}$, единичному элементу группы Лоренца (тождественному преобразованию) соответствует единичное преобразование ${\displaystyle \Lambda =1}$, а произведению двух элементов группы Лоренца ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ соответствует произведение двух преобразований ${\displaystyle \Lambda (P_{1}P_{2})=\Lambda (P_{1})\Lambda (P_{2})}$. Систему матриц с перечисленными свойствами называют линейным представлением группы Лоренца.[7] Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики, так как связаны с понятием спина. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,3)}$ можно построить при помощи спиноров. Примечания Полупрямое произведение группы Лоренца и группы параллельных переносов пространства Минковского по историческим причинам называется группой Пуанкаре. С другой стороны, группа Лоренца содержит в качестве своей подгруппы группу вращений 3-мерного пространства. 1 2 С. И. Азаков, В. П. Павлов. Лоренца группа // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия (т. 1—2); Большая Российская энциклопедия (т. 3—5), 1988—1999. — ISBN 5-85270-034-7. Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. — Springer, 2003. — P. 7. Гельфанд, Минлос, Шапиро, 1958, с. 165—166. Ширков, 1980, с. 146. Naber, 2012, p. 19. Ширков, 1980, с. 147. Литература Ширков Д. В. Физика микромира. — М.: Советская энциклопедия, 1980. — 527 с. См. также Прецессия Томаса Группа Пуанкаре