Ru.Wikipedia.Org - Гиперсфера

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Гиперсфера
Материал из https://ru.wikipedia.org

Гиперсфера (от др.-греч. - «сверх-» + «шар») — гиперповерхность в

n

-мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.

при $n=1$ гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
при $n=2$ она представляет собой окружность;
при $n=3$ гиперсфера является сферой.
при $n=4$ гиперсфера является 3-сферой.
при $n=5$ гиперсфера является 4-сферой.

…

при $n=8$ гиперсфера является 7-сферой. 7-сфера примечательна тем, что эта размерность первая, в которой существуют экзотические сферы, то есть многообразия, гомеоморфные стандартной 7-сфере, но не диффеоморфные^[2].

Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является

(n-1)

-мерным подмногообразием в

n

-мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.

Содержание

Уравнения

Гиперсфера радиуса

R

с центром в точке

a=\left\{a_{1},a_{2},\dots a_{n}\right\}

задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:

(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-a_{n})^{2}=R^{2}

Гиперсферические координаты

Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:

x=\rho \cdot \cos \alpha

y=\rho \cdot \sin \alpha

а сферические координаты так:

x=\rho \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta

y=\rho \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta

z=\rho \cdot \sin \beta

n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:

x_{1}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1}

x_{2}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1}

x_{3}=\rho \cdot \sin \alpha _{2}\cdot \cos \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1}

\ldots

x_{n}=\rho \cdot \sin \alpha _{n-1}

где

\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]

\alpha _{1}\in [0,2\pi )

.

Якобиан этого преобразования равен

J=\rho ^{n-1}\cos \,\alpha _{2}\cdot \cos ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos ^{n-2}\,\alpha _{n-1}

В другом варианте,

x_{1}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1}

x_{2}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1}

x_{3}=\rho \cdot \cos \alpha _{2}\cdot \sin \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1}

\ldots

x_{n}=\rho \cdot \cos \alpha _{n-1}

где

\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\in [0,\pi ]

\alpha _{1}\in [0,2\pi )

.

Якобиан в такой форме равен

J=\rho ^{n-1}\sin \,\alpha _{2}\cdot \sin ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin ^{n-2}\,\alpha _{n-1}

Площадь и объём

В

n

-мерном евклидовом пространстве для гиперсферы размерности

n

её площадь поверхности

S_{n}

и объём

V_{n}

, ограниченный ею (объём n-мерного шара), можно рассчитать по формулам^[3]^[4]:

S_{n}=nC_{n}R^{n-1}

V_{n}=C_{n}R^{n}

где

C_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)}}

\Gamma (x)

— гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:

C_{2k}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}

C_{2k+1}={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}

Здесь

n!!

— двойной факториал.

Так как

V_{n}/S_{n-1}=R/n

S_{n+1}/V_{n}=2\pi R

то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению

V_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}

а площади их поверхностей соотносятся как

S_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n-1}}S_{n-2}

Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объём для

S_{6}

V_{5}

, соответственно.

Площади и объёмы гиперсфер и гипершаров при единичном радиусе
Размерность	1 (длина)	2 (площадь)	3 (объём)	4	5	6	7	8
Единичная сфера ( $S_{n}$ )	$2\pi$	$4\pi$	$2\pi ^{2}$	${\frac {8}{3}}\pi ^{2}$	$\pi ^{3}$	${\frac {16}{15}}\pi ^{3}$	${\frac {1}{3}}\pi ^{4}$	${\frac {32}{105}}\pi ^{4}$
Десятичная запись	6.2832	12.5664	19.7392	26.3189	31.0063	33.0734	32.4697	29.6866
Единичный шар ( $V_{n}$ )	$2$	$\pi$	${\frac {4}{3}}\pi$	${\frac {1}{2}}\pi ^{2}$	${\frac {8}{15}}\pi ^{2}$	${\frac {1}{6}}\pi ^{3}$	${\frac {16}{105}}\pi ^{3}$	${\frac {1}{24}}\pi ^{4}$
Десятичная запись	2.0000	3.1416	4.1888	4.9348	5.2638	5.1677	4.7248	4.0587

В строке «размерность» таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится. Для

n

-мерного шара размерность его «объёма» также равна

n

, а размерность его «площади» —

n-1

.

Отношение объёма

n

-мерного шара

V_{n}=C_{n}R^{n}

к объёму описанного вокруг него

n

-куба

2^{n}R^{n}

быстро уменьшается с ростом

n

, быстрее, чем

2^{-n}

.

Топология гиперсферы

В этом разделе под сферой

S_{n}

будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром

B_{n}

— n-мерный гипершар, то есть

S_{n}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n+1}

B_{n}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n}

Сфера $S_{n}$ гомеоморфна факторизации шара $B_{n}$ по его границе.
Шар $B_{n}$ гомеоморфен факторизации $B_{n}\simeq (S_{n-1}\times [0,1])/(S_{n-1}\times \{1\})$ .
Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных $B_{0}=\mathrm {pt}$ и $B_{n}$ . Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая $S_{n}$ вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные $B_{n}$ , и сферу $S_{n-1}$ , являющуюся их общей границей.

Примечания

Gompf R. E., Stipsicz A. I. 4-manifolds and Kirby calculus. – American Mathematical Society, 2023
A001676 - OEIS (неопр.). Дата обращения: 1 декабря 2022. Архивировано 1 декабря 2022 года.
Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — М.: Наука, 1977, — т. 5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы
Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса

См. также

Ссылки