Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Гипотеза Тёплица, также известная как гипотеза о вписанном квадрате — нерешённая проблема геометрии. Формулировка гипотезы:
- На всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, лежащие в вершинах квадрата.
Гипотеза Тёплица верна для выпуклых кривых, кусочно-гладких кривых и в других специальных случаях. Проблема была сформулирована Отто Тёплицем в 1911 году[1]. Ранние положительные результаты были получены Арнольдом Эмчем[2] и Львом Шнирельманом[3].
Для гладких кривых задача решена.[4]
Содержание
Описание
Пусть C — кривая Жордана. Многоугольник P вписан в C , если все вершины P принадлежат C. Проблема вписанного квадрата заключается в следующем:
- Можно ли на каждой кривой Жордана отыскать вписанный квадрат?
При этом не требуется, чтобы вершины квадрата находились в каком-либо определённом порядке.
Для некоторых кривых, например, для окружности и квадрата, можно указать бесконечно много вписанных квадратов. В тупоугольный треугольник можно вписать ровно один квадрат.
Вальтер Стромквист доказал, что в каждую локально монотонную простую плоскую кривую можно вписать квадрат[5]. Доказательство применимо к кривым C, обладающим свойством локальной монотонности: для любой точки p, лежащей на C, существует такая окрестность U(p), что ни одна хорда C в этой окрестности не является параллельной заданному направлению n(p) (направлению оси ординат). К локально монотонным кривым относятся все выпуклые кривые и все кусочно-заданные непрерывно дифференцируемые кривые без точек возврата.
Утвердительный ответ также известен для центрально симметричных кривых[6].
Варианты и обобщения
Известно, что для любого заданного треугольника T и жордановой кривой C существует треугольник, подобный T и вписанный в C[7][8]. Более того, множество вершин таких треугольников является плотным в C[9]. В частности, всегда существует вписанный равносторонний треугольник. Также в любую жорданову кривую можно вписать прямоугольник.
В некоторых обобщениях проблемы вписанного квадрата рассматриваются вписанные в кривые многоугольники. Существуют также обобщения для многомерных евклидовых пространств. Так, Стромквист доказал, что в любую непрерывную замкнутую кривую , удовлетворяющую «условию A», можно вписать четырёхугольник с равными сторонами и равными диагоналями; «условие A» заключается в том, что никакие две хорды C в соответствующей окрестности любой точки не должны быть перпендикулярными[5]. Этот класс кривых включает все кривые C2. Нильсен и Райт доказали, что любой симметричный континуум содержит вписанные прямоугольники[6]. Генрих Гуггенхаймер доказал, что любая гиперповерхность, C3-диффеоморфная сфере Sn1, содержит 2n вершин правильного евклидова гиперкуба[10].
Примечания
- Toeplitz, O. : Ueber einige aufgaben der analysis situs Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 94 (1911), p. 197.
- Emch, Arnold (1916), On some properties of the medians of closed continuous curves formed by analytic arcs, American Journal of Mathematics, 38 (1): 6–18, doi:10.2307/2370541, MR 1506274
- Лев Шнирельман. О некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых // УМН. — 1944. — Т. 10. — С. 34—44.
-
- 1 2
- 1 2
-
-
-
-
Дополнительная литература
Внешние ссылки
|
|