Меню Главная Случайная статья Настройки Гомологическая сфера Материал из https://ru.wikipedia.org Гомологическая сфера — n-мерное многообразие X с гомологиями как у n-мерной сферы. То есть H0(X,Z) = Z = Hn(X,Z), и Hi(X,Z) = {0} при всех остальных i. Содержание 1 Примеры 2 Свойства 3 Вариации и обобщения 4 Примечания Примеры Сфера Пуанкаре Сферы Брискорна (p, q, r), то есть пересечение малой 5-мерной сферы с решением уравнения xp + yq + zr = 0 в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ при взаимно простых p, q и r. Они является гомологическими сферами. При этом (1, 1, 1) гомеоморфно стандартной сфере, а (2, 3, 5) сфере Пуанкаре. Если ${\displaystyle 1/p+1/q+1/r\leq 1}$, то универсальное накрытие (p, q, r) гомеоморфно евклидовому пространству, Свойства Гомологическая сфера связна. Фундаментальная группа ${\displaystyle \Gamma }$ гомологической сферы совпадает со своим коммутатором. Пусть ${\displaystyle n\geqslant 5}$. Группа ${\displaystyle \Gamma }$ является группой какой-то n-мерной гомологической сферы тогда и только тогда, когда[1]: ${\displaystyle \Gamma }$ конечно задана; ${\displaystyle H_{1}(\Gamma )=0}$; ${\displaystyle H_{2}(\Gamma )=0}$. Группа ${\displaystyle \Gamma }$ является группой какой-то 4-мерной гомологической сферы, если ${\displaystyle \Gamma }$ задана равным числом образующих и соотношений, и ${\displaystyle H_{1}(\Gamma )=0}$. Неизвестно, верно ли обратное[1]. Связная сумма двух гомологических сфер — это гомологическая сфера. Согласно обобщённой гипотезе Пуанкаре, односвязная гомологическая сфера гомеоморфна стандартной сфере. Вариации и обобщения Рационально гомологические сферы определяется аналогичным образом, но используя гомологии с рациональными коэффициентами. Примечания 1 2 Michel A. Kervaire, Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144 (Oct., 1969), pp. 67—72