Меню Главная Случайная статья Настройки Грубая структура Материал из https://ru.wikipedia.org Грубая структура на данном множестве ${\displaystyle X}$ — набор подмножеств декартового произведения ${\displaystyle X\times X}$ с определёнными свойствами, которые позволяют определить крупномасштабную структуру напоминающую метрику. Традиционно в геометрии и топологии уделяется внимание локальным свойствам, как, например непрерывность. Она зависит от того, являются ли обратные образы малых открытых множеств, или окрестностей, сами открытыми. Крупномасштабные свойства пространства — например ограниченность — не зависят от локальной геометрии. Грубая геометрия предоставляют инструменты для измерения крупномасштабных свойств пространства, и так же, как метрика или топология содержат информацию о мелкомасштабной структуре пространства, грубая структура содержит информацию о его крупномасштабных свойствах. В правильном смысле грубая структура — это не крупномасштабный аналог топологической структуры, а равномерная структура[англ.]. Содержание 1 Определение 2 Связанные определения 3 Грубые отображения 4 Примеры 5 Примечания 6 Ссылки Определение Грубая структура на множестве ${\displaystyle X}$ есть выделенное семейство множеств ${\displaystyle \mathbf {E} }$ из декартова произведения ${\displaystyle X\times X}$, называемых контролируемыми множествами, таких, что ${\displaystyle \mathbf {E} }$ обладает отношением тождественности, замкнуто относительно взятия подмножества, обратного, конечного объединения и композиции; точнее, Тождественность/диагональ: Диагональ ${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$ является членом ${\displaystyle \mathbf {E} }$—отношения тождественности. Замкнуто относительно взятия подмножества: Если ${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$ и ${\displaystyle F\subseteq E,}$ тогда ${\displaystyle F\in \mathbf {E} .}$ Замкнуто относительно взятия обратного: Если ${\displaystyle E\in \mathbf {E} }$, тогда обратное (или транспонированое) множество ${\displaystyle E^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in E\}}$ принадлежит ${\displaystyle \mathbf {E} }$. Замкнуто относительно объединения: Если ${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$, тогда их объединение ${\displaystyle E\cup F}$ является членом ${\displaystyle \mathbf {E} .}$ Замкнуто относительно композиции: Если ${\displaystyle E,F\in \mathbf {E} }$, тогда их композиция ${\displaystyle E\circ F=\{(x,y)}$ : существует такой ${\displaystyle z\in X}$, что ${\displaystyle (x,z)\in E{\text{ и }}(z,y)\in F\}}$ являются членами ${\displaystyle \mathbf {E} }$. Связанные определения Множество ${\displaystyle X}$, наделённое грубой структурой ${\displaystyle \mathbf {E} }$, является грубым пространством. Для подмножества ${\displaystyle K}$ из ${\displaystyle X}$, множество ${\displaystyle E[K]}$ определяется как ${\displaystyle \{x\in X:(x,k)\in E}$ для некоторого ${\displaystyle k\in K\}}$. Определим ${\displaystyle E}$-шар с центром в ${\displaystyle x}$ как множество ${\displaystyle E[\{x\}],}$ также обозначается ${\displaystyle E_{x}}$. Символ ${\displaystyle E^{y}}$ обозначает множество ${\displaystyle E^{-1}[\{y\}]}$. Подмножество ${\displaystyle B}$ из ${\displaystyle X}$ называется ограниченным, если ${\displaystyle B\times B}$ лежит в ${\displaystyle \mathbf {E} .}$. Грубые отображения Учитывая множество ${\displaystyle S}$ и грубую структуру ${\displaystyle X}$, мы говорим, что отображения ${\displaystyle f:S\to X}$ и ${\displaystyle g:S\to X}$ замкнутые, если ${\displaystyle \{(f(s),g(s)):s\in S\}}$ — контролируемое множество. Для грубых структур ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ мы говорим, что ${\displaystyle f:X\to Y}$ — это грубое отображение, если для каждого ограниченного множества ${\displaystyle B}$ из ${\displaystyle Y}$ множество ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ ограниченно в ${\displaystyle X}$ и для каждого контролируемого множества ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle X}$ множество ${\displaystyle (f\times f)(E)}$ контролируемо в ${\displaystyle Y}$[1]. ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ называются грубо эквивалентными, если существуют их грубые отображения ${\displaystyle f:X\to Y}$ и ${\displaystyle g:Y\to X}$, такие что ${\displaystyle f\circ g}$ близко к ${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$ и ${\displaystyle g\circ f}$ близко к ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}.}$ Примеры Ограниченная грубая структура на метрическом пространстве ${\displaystyle (X,d)}$ — это совокупность ${\displaystyle \mathbf {E} }$ всех подмножеств ${\displaystyle E}$ из ${\displaystyle X\times X}$ таких, что зачения ${\displaystyle d(x,y)}$ при ${\displaystyle (x,y)\in E}$ ограничены. При такой структуре целочисленная решётка ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ грубо эквивалентна ${\displaystyle n}$-мерному Евклидову пространству. Пространство ${\displaystyle X}$, в котором ${\displaystyle X\times X}$ является контролируемым, называется ограниченным пространством. Такое пространство грубо эквивалентно точке. Метрическое пространство с ограниченной грубой структурой является ограниченным (как грубое пространство) тогда и только тогда, когда оно ограничено (как метрическое пространство). Тривиальная грубая структура состоит только из диагонали и ее подмножеств. В этой структуре отображение является грубой эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно является биекцией (множеств). ${\displaystyle C_{0}}$ грубой структуры на метрическом пространстве ${\displaystyle (X,d)}$ — это совокупность всех подмножеств ${\displaystyle E}$ из ${\displaystyle X\times X}$ таких, что для всех ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует компакт ${\displaystyle K}$ из ${\displaystyle E}$ такой, что ${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon }$ для всех ${\displaystyle (x,y)\in E\setminus K\times K.}$ С другой стороны, совокупность всех подмножеств ${\displaystyle E}$ из ${\displaystyle X\times X}$ таких, что ${\displaystyle \{(x,y)\in E:d(x,y)\geq \varepsilon \}}$ является компактом. Дискретная грубая структура на множестве ${\displaystyle X}$ состоит из диагонали ${\displaystyle \Delta }$ вместе с подмножествами ${\displaystyle E}$ из ${\displaystyle X\times X}$, которые содержат конечное число точек ${\displaystyle (x,y)}$ вне диагонали. Если ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, то индискретная грубая структура на ${\displaystyle X}$ состоит из всех правильных подмножеств ${\displaystyle X\times X}$, то есть всех подмножеств ${\displaystyle E}$ таких, что ${\displaystyle E[K]}$ и ${\displaystyle E^{-1}[K]}$ относительно компактны, когда ${\displaystyle K}$ относительно компактно. Примечания Hoffland, Christian Stuart. Course structures and Higson compactification (англ.). — 2006. Ссылки John Roe, Lectures in Coarse Geometry, University Lecture Series Vol. 31, American Mathematical Society: Providence, Rhode Island, 2003. Corrections to Lectures in Coarse Geometry А. А. Арутюнов Грубая геометрия