Меню Главная Случайная статья Настройки Компактное пространство Материал из https://ru.wikipedia.org Компактное пространство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства. В общей топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.[1] Содержание 1 Определение 2 Примеры компактных множеств 3 Связанные определения 4 Свойства 5 См. также 6 Примечания 7 Литература Определение Компактное пространство — топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие[2]. Изначально такое свойство называлось бикомпактностью (этот термин был введён П. С. Александровым и П. С. Урысоном), а в определении компактности использовались счётные открытые покрытия. Впоследствии более общее свойство бикомпактности оказалось более популярным и постепенно стало называться просто компактностью. Сейчас термин «бикомпактность» употребляется в основном лишь топологами школы П. С. Александрова. Для пространств, удовлетворяющих второй аксиоме счётности, первоначальное определение компактности равносильно современному[3]. Бурбаки и его последователи включают в определение компактности свойство хаусдорфовости пространства[3]. Примеры компактных множеств Замкнутые ограниченные множества в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Конечные подмножества топологических пространств. Теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств в пространстве ${\displaystyle C(X)}$ вещественных функций на метрическом компактном пространстве ${\displaystyle X}$ с нормой ${\displaystyle \|f\|=\sup _{x}|f(x)|}$: замыкание множества функций ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle C(X)}$ компактно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle F}$ равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Пространство Стоуна булевых алгебр. Компактификация топологического пространства. Связанные определения Подмножество топологического пространства T, являющееся в индуцированной T топологии компактным пространством, называется компактным множеством. Множество A называется предкомпактным (или компактным относительно T, или строго содержится в T), если его замыкание в T компактно. Обозначение: A ${\displaystyle \Subset }$ T[4][5]. Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно. Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны. Псевдокомпактное пространство — тихоновское пространство, в котором каждая непрерывная вещественная функция ограничена. Счётно компактное пространство — топологическое пространство, в любом счётном покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие. Слабо счётно компактное пространство — топологическое пространство, в котором любое бесконечное множество имеет предельную точку. H-замкнутое пространство  — хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем его хаусдорфовом пространстве[6]. Термин «компакт» иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство». Также «компакт» иногда используется для хаусдорфова компактного пространства[7]. Далее, мы будем использовать термин «компакт» как синоним к термину «компактное пространство». Свойства Свойства, равносильные компактности: Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение[8]. Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в нём имеет предельную точку. Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр в нём имеет предельную точку. Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке. Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в ${\displaystyle X}$. Другие общие свойства: Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт. Теорема Вейерштрасса. Любая непрерывная вещественная функция на компактном пространстве ограниченна и достигает своих наибольших и наименьших значений. Замкнутое подмножество компакта компактно. Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто. Компактное хаусдорфово пространство нормально. Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда оно регулярно и H-замкнуто[6]. Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое его замкнутое подмножество H-замкнуто[6]. Теорема Тихонова: произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств (с топологией произведения) компактно. Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом. Компактные множества «ведут себя как точки»[9]. Например: в хаусдорфовом пространстве любые два непересекающиеся компактных множества обладают непересекающимися окрестностями, в регулярном пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества обладают непересекающимися окрестностями, в тихоновском пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества функционально отделимы. Каждое конечное топологическое пространство компактно. Свойства компактных метрических пространств: Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность. Теорема Хаусдорфа о компактности даёт необходимые и достаточные условия компактности множества в метрическом пространстве. Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля[10]. Лемма Лебега: для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия ${\displaystyle \{V_{\alpha }\},\ \alpha \in A}$ существует положительное число ${\displaystyle r}$ такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше ${\displaystyle r}$, содержится в одном из множеств ${\displaystyle V_{\alpha }}$. Такое число ${\displaystyle r}$ называется числом Лебега. См. также Компактификация Примечания Halmos, P. R. Does mathematics have elements? // Math. Intelligencer. — 1980/81. — Т. 3, № 4. — С. 147–153. Виро и др., 2012, с. 97. 1 2 Виро и др., 2012, с. 98. Колмогоров, Фомин, 1976, с. 105. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, § 1. Обозначения и определения, с. 11. 1 2 3 Келли, 1968, с. 209. Энгелькинг, 1986, с. 208. См. также Лемма о вложенных отрезках Энгелькинг, 1986, с. 210. См. также Теорема Больцано — Вейерштрасса#Теорема Больцано — Вейерштрасса и понятие компактности Литература Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных / Предисловие академика Н. Н. Боголюбова. М.: «Наука», 1964. 411 с.: ил. Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа (рус.). — 4-е изд.. — М.: Наука, 1976. Архангельский, А.В. Бикомпактное пространство (рус.) // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985. Войцеховский, М. И.. Компактное пространство (рус.) // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.