Меню Главная Случайная статья Настройки Задача Гурса Материал из https://ru.wikipedia.org Задача Гурса — это разновидность краевой задачи для гиперболических уравнений и систем 2-го порядка с двумя независимыми переменными по данным на двух выходящих из одной точки характеристических кривых. Содержание 1 Историческая справка 2 Постановка задачи 3 Решение 3.1 Существование решения 3.2 Метод Римана 3.3 Метод последовательных приближений 4 Примечания Историческая справка Задача названа в честь математика Э. Гурса. В его широко известном «Курсе математического анализа» этой задаче посвящён отдельный параграф[1]. Постановка задачи Пусть в области ${\displaystyle \Omega }$ задано гиперболическое уравнение ${\displaystyle u_{xy}=F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})}$ и краевое условие. Задача: найти регулярное в области ${\displaystyle \Omega }$ и непрерывное в замыкании ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$ решение по краевому условию. В «Математической энциклопедии»[2] краевое условие формулируется следующим образом: ${\displaystyle u(0,\,t)=\varphi (t),\;u(t,\,1)=\psi (t),\;\varphi (1)=\psi (0)}$, где ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ — заданные непрерывно дифференцируемые функции. В учебнике Тихонова, Самарского[3] оно формулируется немного по-другому: ${\displaystyle u(x,\,0)=\varphi _{1}(x),\;u(0,\,y)=\varphi _{2}(y)}$, где ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}}$ удовлетворяют условиям сопряжения и дифференцируемости. Нетрудно видеть, что это задача с данными на характеристиках уравнения. Эта задача примечательна тем, что для задания решения достаточно только две функции (ср. с начально-краевой задачей). В «Курсе» Гурса говорится о более общем случае. ${\displaystyle u(x,\,\pi (x))=\varphi (x),\;u(\chi (y),\,y)=\psi (y)}$ Решение Существование решения Если функция ${\displaystyle F}$ непрерывна для всех ${\displaystyle (x,\,y)\in {\bar {\Omega }}}$ и для любых ${\displaystyle u,\;p=u_{x},\;q=u_{y}}$ допускает производные ${\displaystyle F_{u},\;F_{p},\;F_{q}}$, которые по абсолютной величине меньше некоторого числа, то в области ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$ существует единственное и устойчивое решение. Метод Римана Рассматривается линейный случай. Исходное уравнение принимает вид ${\displaystyle Lu\equiv u_{xy}+au_{x}+bu_{y}+cu=f}$. Вводится функция Римана ${\displaystyle R(x,\,y;\;\xi ,\,\eta )}$, которая однозначно определяется как решение уравнения ${\displaystyle R_{xy}-(aR)_{x}-(bR)_{y}+cR=0}$, удовлетворяющее условиям ${\displaystyle R(\xi ,\,y;\;\xi ,\,\eta )=\exp \int \limits _{\eta }^{y}a(\xi ,\,t)dt}$ ${\displaystyle R(x,\,\eta ;\;\xi ,\eta )=\exp \int \limits _{\xi }^{x}b(t,\,\eta )dt}$ где ${\displaystyle (\xi ,\,\eta )\in \Omega }$ — произвольная точка. Решение задачи Гурса в линейном случае в «Энциклопедии» дается при ${\displaystyle \varphi =\psi \equiv 0}$ ${\displaystyle u(x,\,y)=\int \limits _{0}^{x}d\xi \int \limits _{1}^{y}R(\xi ,\,\eta ;\;x,\,y)f(x,y)d\eta }$ Метод последовательных приближений Рассматривается два случая ${\displaystyle F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})=f(x,\,y)}$ Последовательно интегрируя исходное уравнение получаем аналитическую формулу ${\displaystyle u(x,\,y)=\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(y)-\varphi _{1}(0)+\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}f(\xi ,\,\eta )d\xi d\eta }$ Из этой формулы следует существование и единственность решения данной задачи. ${\displaystyle F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})=au_{x}+bu_{y}+cu+f}$ Исходное уравнение преобразуется к интегро-дифференциальному уравнению ${\displaystyle u(x,\,y)=\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}\left[au_{\xi }+bu_{\eta }+cu\right]d\xi d\eta +\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(y)-\varphi _{1}(0)+\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}f(\xi ,\,\eta )d\xi d\eta }$ Это уравнение решается методом последовательных приближений. Нулевое приближение ${\displaystyle u_{0}(x,\,y)=0}$ подставляется в интегро-дифференциальное уравнение. Результат принимается в качестве первого приближения, которое в свою очередь подставляется в интегро-дифференциальное уравнение и т. д. Таким образом получается бесконечная последовательность ${\displaystyle \left\{u_{n}(x,\,y)\right\}}$. Далее доказывается сходимость данной последовательности и находится её предел ${\displaystyle u(x,\,y)=\lim _{n\to \infty }u_{n}(x,\,y)}$. Этот предел и есть решение задачи. Примечания Э. Гурса. Курс математического анализа, том 3, часть 1. — Москва — Ленинград: Государственное Технико-Теоретическое Издательство, 1933.