Меню Главная Случайная статья Настройки Инвариант Хопфа Материал из https://ru.wikipedia.org Инвариант Хопфа — гомотопический инвариант отображений между сферами определённых размерностей. Предложен Хайнцем Хопфом в 1931 году.[1] Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Примечания 4 Литература Определение Пусть ${\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}$ — непрерывное отображение (предположим ${\displaystyle n>1}$). Рассмотрим CW-комплекс ${\displaystyle C_{\varphi }=S^{n}\cup _{\varphi }D^{2n},}$ где ${\displaystyle D^{2n}}$ есть ${\displaystyle 2n}$-мерный диск, приклеенный к ${\displaystyle S^{n}}$ по отображению ${\displaystyle \varphi }$. Группы клеточных цепей ${\displaystyle C_{\mathrm {cell} }^{*}(C_{\varphi })}$ равны ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ в размерностях 0, ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle 2n}$, а иначе нули. Обозначим образующие групп когомологий через ${\displaystyle H^{n}(C_{\varphi })=\langle \alpha \rangle }$ и ${\displaystyle H^{2n}(C_{\varphi })=\langle \beta \rangle .}$ По размерным соображениям все произведения между этими классами должны быть тривиальными, кроме возможно ${\displaystyle \alpha \smile \alpha }$. Таким образом, кольцо когомологий ${\displaystyle C_{\varphi }}$ задаётся следующим образом ${\displaystyle H^{*}(C_{\varphi })=\mathbb {Z} [\alpha ,\beta ]/\langle \beta \smile \beta =\alpha \smile \beta =0,\alpha \smile \alpha =h(\varphi )\cdot \beta \rangle .}$ Целое число ${\displaystyle h(\varphi )}$ и является инвариантом Хопфа отображения ${\displaystyle \varphi }$. Свойства Отображение ${\displaystyle h\colon \pi _{2n-1}(S^{n})\to \mathbb {Z} }$ является гомоморфизмом. Более того, если ${\displaystyle n}$ чётно, то образ ${\displaystyle h}$ содержит ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$. Инвариант расслоений Хопфа равен ${\displaystyle 1}$, где ${\displaystyle n=1,2,4,8}$, соответственно, соответствует вещественным алгебрам с делением ${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} }$ и расслоению ${\displaystyle S(\mathbb {A} ^{2})\to \mathbb {PA} ^{1}}$, направляющему направление на сферу в подпространство, которое она охватывает. Более того, с точностью до гомотопической эквивалентности это единственные отображения с единичным инвариантом Хопфа. Эта теорема была доказана сначала Фрэнком Адамсом, а затем Адамсом и Майклом Атией методами топологической K-теории. Инвариант Хопфа гладкого отображения ${\displaystyle \varphi \colon S^{2n-1}\to S^{n}}$, равен индексу зацепления в ${\displaystyle \colon S^{2n-1}}$ прообразов двух регулярных значений в ${\displaystyle \varphi }$ в ${\displaystyle \varphi S^{n}}$. Пусть ${\displaystyle \omega }$ — такая ${\displaystyle n}$-форма на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$, что ${\displaystyle \int _{\mathbb {S} ^{n}}\omega =1}$. Tогда её понятие ${\displaystyle \varphi ^{*}\omega }$ точное, то есть ${\displaystyle \phi ^{*}\omega =d\eta }$ для некоторой ${\displaystyle (n-1)}$-формы ${\displaystyle \eta }$ на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}}$ и следующий интеграл равен инварианту Хопфа отображения ${\displaystyle \varphi }$[2]:prop. 17.22 ${\displaystyle \ \ \int \limits _{\mathbb {S} ^{2n-1}}\eta \wedge d\eta .}$ Примечания Hopf, Heinz (1931), ber die Abbildungen der dreidimensionalen Sphre auf die Kugelflche, Mathematische Annalen, 104: 637–665, doi:10.1007/BF01457962 Bott, Raoul. Differential forms in algebraic topology / Raoul Bott, Loring W Tu. — New York, 1982. — ISBN 9780387906133. Литература Crabb, Michael. The geometric Hopf invariant . Математическая энциклопедия ХОПФА ИНВАРИАНТ