Меню Главная Случайная статья Настройки Функция ошибок Материал из https://ru.wikipedia.org Функция ошибок (также называемая функция ошибок Гаусса) — неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как ${\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}$. Некоторые[какие?] авторы опускают множитель ${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}}$ перед интегралом. Дополнительная функция ошибок, обозначаемая ${\displaystyle \operatorname {erfc} \,x}$ (иногда применяется обозначение ${\displaystyle \operatorname {Erf} \,x}$), определяется через функцию ошибок: ${\displaystyle \operatorname {erfc} \,x=1-\operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}$. Комплексная функция ошибок, обозначаемая ${\displaystyle w(x)}$, также определяется через функцию ошибок: ${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\operatorname {erfc} \,(-ix)}$. Содержание 1 Свойства 2 Применение 3 Асимптотическое разложение 4 Аппроксимации 5 Родственные функции 5.1 Обобщённые функции ошибок 5.2 Повторные интегралы дополнительной функции ошибок 6 Реализации 7 См. также 8 Примечания 9 Литература 10 Ссылки Свойства Функция ошибок нечётна: ${\displaystyle \operatorname {erf} \,(-x)=-\operatorname {erf} \,x.}$ Для любого комплексного ${\displaystyle x}$ выполняется ${\displaystyle \operatorname {erf} \,{\bar {x}}={\overline {\operatorname {erf} \,x}}}$ где черта обозначает комплексное сопряжение числа ${\displaystyle x}$. Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда: ${\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}$ Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного ${\displaystyle x}$, так и на всей комплексной плоскости, согласно признаку Д’Аламбера. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS. Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде: ${\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(x\prod _{i=1}^{n}{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2n+1}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {-x^{2}}{i}}}$ поскольку ${\displaystyle {\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}}$ — сомножитель, превращающий ${\displaystyle i}$-й член ряда в ${\displaystyle (i+1)}$-й, считая первым членом ${\displaystyle x}$. Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как: При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка ${\displaystyle z=\infty }$ будет для неё существенно особой. Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции; она равна удвоенной функции Гаусса с медианой = 0 и стандартным отклонением ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-x^{2}}.}$ Первообразная функции ошибок, получаемая способом интегрирования по частям: ${\displaystyle \int \operatorname {erf} x\,dx=x\operatorname {erf} \,x+{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+C.}$ Обратная функция ошибок представляет собой ряд ${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\,x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1},}$ где Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены): ${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\,x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi x^{3}}{12}}+{\frac {7\pi ^{2}x^{5}}{480}}+{\frac {127\pi ^{3}x^{7}}{40320}}+{\frac {4369\pi ^{4}x^{9}}{5806080}}+{\frac {34807\pi ^{5}x^{11}}{182476800}}+\dots \right).}$[1] Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS. Применение Если набор случайных величин подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением ${\displaystyle \sigma }$, то вероятность, что величина отклонится от среднего не более чем на ${\displaystyle a}$, равна ${\displaystyle \operatorname {erf} \,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}}$. Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с начальными условиями, описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»). В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок. Асимптотическое разложение При больших ${\displaystyle x}$ полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок: ${\displaystyle \operatorname {erfc} \,x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.}$ Хотя для любого конечного ${\displaystyle x}$ этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления ${\displaystyle \operatorname {erfc} \,x}$ с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно. Другое приближение даётся формулой[1] ${\displaystyle (\operatorname {erf} x)^{2}\approx 1-\exp \left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right),}$ где ${\displaystyle a={\frac {8}{3\pi }}{\frac {\pi -3}{4-\pi }}.}$ Аппроксимации Аппроксимация дополнительной функции ошибок, имеющая относительную погрешность в пределах 1.2107, реализована в Numerical Recipes[англ.][2]: ${\displaystyle \operatorname {erfc} x\approx t\operatorname {exp} (-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}+0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}),}$ где ${\displaystyle t=1/(1+|x|/2),}$ при ${\displaystyle x>0}$, и ${\displaystyle \operatorname {erfc} x=2-\operatorname {erfc} |x|}$ при ${\displaystyle x<0}$. При ${\displaystyle 0\leq x\lesssim 5\times 10^{-8}}$ эта формула даёт недопустимые значения выше единицы, поэтому её нельзя использовать для оценки функции ${\displaystyle \operatorname {erf} \,x\equiv 1-\operatorname {erfc} \,x}$ при малых x. Аппроксимация функции ошибок даётся формулой[1] ${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx \operatorname {sign} x\left[1-\operatorname {exp} \left(-x^{2}{\frac {4/|x|+ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)\right]^{1/2},}$ где ${\displaystyle a=0.147}$. Относительная погрешность этой аппроксимации не превосходит ${\displaystyle 1.3\times 10^{-4}}$, а обратная к ней функция выражается аналитически[1]: ${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}x\approx \operatorname {sign} x\,\left[-{\frac {2}{a\pi }}-{\frac {\operatorname {ln} (1-x^{2})}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {2}{a\pi }}+{\frac {\operatorname {ln} (1-x^{2})}{2}}\right)^{2}-{\frac {\operatorname {ln} (1-x^{2})}{a}}}}\right]^{1/2}.}$ Относительная погрешность последней формулы лежит в пределах до 0.002 для всех ненулевых значений ${\displaystyle x\in (-1,1)}$. Родственные функции С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с функцией Лапласа — функцией нормального интегрального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, обозначаемой ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}{\biggl (}1+\operatorname {erf} \,{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\biggl )}.}$ Обратная функция к ${\displaystyle \Phi }$, известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается ${\displaystyle \operatorname {probit} }$ и выражается через нормальную функцию ошибок как ${\displaystyle \operatorname {probit} \,p=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1).}$ Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики. Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера): ${\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-x^{2}\right).}$ Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции, ${\displaystyle \operatorname {erf} \,x=\operatorname {sign} \,x\,P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {sign} \,x \over {\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right).}$ Обобщённые функции ошибок Некоторые авторы обсуждают более общие функции ${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,.}$ Примечательными частными случаями являются: ${\displaystyle E_{0}(x)}$ — прямая линия, проходящая через начало координат: ${\displaystyle E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}}$ ${\displaystyle E_{2}(x)}$ — функция ошибок ${\displaystyle \operatorname {erf} \,x}$. После деления на ${\displaystyle n!}$ все ${\displaystyle E_{n}}$ с нечётными ${\displaystyle n}$ выглядят похоже (но не идентично), это же можно сказать про ${\displaystyle E_{n}}$ с чётными ${\displaystyle n}$. Все обобщённые функции ошибок с ${\displaystyle n>0}$ выглядят похоже на полуоси ${\displaystyle x>0}$. На полуоси ${\displaystyle x>0}$ все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию: ${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\quad \quad x>0}$ Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию: ${\displaystyle \operatorname {erf} \,x=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}}$ Повторные интегралы дополнительной функции ошибок Повторные интегралы ${\displaystyle \operatorname {I^{n}erfc} }$ дополнительной функции ошибок определяются как[3] ${\displaystyle \operatorname {I^{0}erfc} \,z=\operatorname {erfc} \,z}$, ${\displaystyle \operatorname {I^{n}erfc} \,z=\int \limits _{z}^{\infty }\operatorname {I^{n-1}erfc} \,\zeta \,d\zeta ,}$ для ${\displaystyle n>0}$. Их можно разложить в ряд: ${\displaystyle \operatorname {I^{n}erfc} \,z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,,}$ откуда следуют свойства симметрии ${\displaystyle \operatorname {I^{2m}erfc} \,(-z)=-\operatorname {I^{2m}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}$ и ${\displaystyle \operatorname {I^{2m+1}erfc} \,(-z)=\operatorname {I^{2m+1}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,.}$ Реализации В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ и дополнительная функция ошибок ${\displaystyle \operatorname {erfc} }$. Функции объявлены в заголовочных файлах math.h (для Си) или cmath (для C++). Там же объявлены пары функций erff(), erfcf() и erfl(), erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта «Boost». В языке Java стандартная библиотека математических функций java.lang.Math не содержит[4] функцию ошибок. Класс Erf можно найти в пакете org.apache.commons.math.special из не стандартной библиотеки, поставляемой[5] Apache Software Foundation. Системы компьютерной алгебры Maple[2], Matlab[3], Mathematica и Maxima[4] содержат обычную и дополнительную функции ошибок, а также обратные к ним функции. В языке Python функция ошибок доступна[6] из стандартной библиотеки math, начиная с версии 2.7. Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта SciPy[5]. В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math[7]. В Excel функция ошибок представлена, как ФОШ и ФОШ.ТОЧН[8] См. также Функция Гаусса Функция Доусона Гауссов интеграл Примечания 1 2 3 Winitzki S. A handy approximation for the error function and its inverse (англ.). — 2008. Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. Numerical Recipes in Fortran 77. The Art of Scientific Computing (англ.). — 2nd ed.. — Cambridge: Cambridge University Press, 1992. — 963 p. — ISBN 0-521-43064-X. — §6.2. Math (Java Platform SE 6)  (неопр.). Дата обращения: 28 марта 2008. Архивировано 29 августа 2009 года. Архивированная копия  (неопр.). Дата обращения: 28 марта 2008. Архивировано из оригинала 9 апреля 2008 года. 9.2. math — Mathematical functions — Python 2.7.10rc0 documentation Язык Erlang. Описание Архивная копия от 20 июня 2012 на Wayback Machine функций стандартного модуля math. Функция ФОШ  (неопр.). support.microsoft.com. Дата обращения: 15 ноября 2021. Архивировано 15 ноября 2021 года. Литература Nikolai G. Lehtinen. Error functions  (неопр.) (апрель 2010). Дата обращения: 25 мая 2019. Ссылки MathWorld — Erf Онлайновый калькулятор Erf и много других специальных функций (до 6 знаков) Онлайновый калькулятор, вычисляющий в том числе Erf