Меню Главная Случайная статья Настройки Неопределённый интеграл Материал из https://ru.wikipedia.org Неопределённый интеграл для функции ${\displaystyle f(x)}$ — это совокупность всех первообразных данной функции[1]. Если функция ${\displaystyle f(x)}$ определена и непрерывна на промежутке ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle F(x)}$ — её первообразная, то есть ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ при ${\displaystyle a<x<b}$, то ${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C,}$ ${\displaystyle a<x<b}$, где С — произвольная постоянная. Основные свойства неопределённого интеграла приведены ниже. ${\displaystyle d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx}$ ${\displaystyle \int d(F(x))=F(x)+C}$ ${\displaystyle \int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx,a\neq 0}$ ${\displaystyle \int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx}$ Если ${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}$, то и ${\displaystyle \int f(u)du=F(u)+C}$, где ${\displaystyle u=\varphi (x)}$ — произвольная функция, имеющая непрерывную производную Содержание 1 Подведение под знак дифференциала 2 Основные методы интегрирования 3 Таблица основных неопределённых интегралов 4 См. также 5 Примечания 6 Литература 7 Ссылки Подведение под знак дифференциала При подведении под знак дифференциала используются следующие свойства: ${\displaystyle du=d(u+C)}$ ${\displaystyle du={1 \over a}d(au)}$ ${\displaystyle f'(u)\cdot du=d(f(u))}$ Основные методы интегрирования 1. Метод введения нового аргумента. Если ${\displaystyle \int g(x)dx=G(x)+C,}$ то ${\displaystyle \int g(u)du=G(u)+C,}$ где ${\displaystyle u=\varphi (x)}$ — непрерывно дифференцируемая функция. 2. Метод разложения. Если ${\displaystyle g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),}$ то ${\displaystyle \int g(x)dx=\int g_{1}(x)dx+\int g_{2}(x)dx.}$ 3. Метод подстановки. Если ${\displaystyle g(x)}$ — непрерывна, то, полагая ${\displaystyle x=\varphi (t),}$ где ${\displaystyle \varphi (t)}$ непрерывна вместе со своей производной ${\displaystyle \varphi '(t)}$, получим ${\displaystyle \int g(x)dx=\int g(\varphi (t))\varphi '(t)dt.}$ 4. Метод интегрирования по частям. Если ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ — некоторые дифференцируемые функции от ${\displaystyle x}$, то ${\displaystyle \int udv=uv-\int vdu.}$ Таблица основных неопределённых интегралов ${\displaystyle \int 0\cdot dx=C;}$ ${\displaystyle \int 1\cdot dx=x+C;}$ ${\displaystyle \int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}$ ${\displaystyle (n\neq -1);}$ ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;}$ ${\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C;}$ ${\displaystyle \int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,}$ ${\displaystyle (a>0,a\neq 1);}$ ${\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C;}$ ${\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C;}$ ${\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;}$ ${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;}$ ${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C_{1}=-\arccos x+C_{2}\quad (C_{2}={\frac {\pi }{2}}+C_{1});}$ ${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C;}$ ${\displaystyle \int \mathrm {ch} \,xdx=\mathrm {sh} \,x+C;}$ ${\displaystyle \int \mathrm {sh} \,xdx=\mathrm {ch} \,x+C;}$ Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа ${\displaystyle C}$ такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями. Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нём непрерывную первообразную. См. также Первообразная Определённый интеграл Основная теорема анализа Знак интеграла Интегральное исчисление Численное интегрирование Методы интегрирования Список интегралов элементарных функций Таблица интегралов Примечания Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017. Литература Никольский С. М. Глава 9. Определённый интеграл Римана // Курс математического анализа. — 1990. — Т. 1. Ссылки Weisstein, Eric W. Integral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica Онлайн Калькулятор Интегралов Архивная копия от 6 января 2010 на Wayback Machine Онлайн калькулятор интегралов с подробным пошаговым решением на русском языке Архивная копия от 29 апреля 2014 на Wayback Machine Интеграл — статья из Большой советской энциклопедии.