Меню

Главная
Случайная статья
Настройки
Кольца Борромео
Материал из https://ru.wikipedia.org

Кольца Борромео[2] — зацепление, состоящее из трёх топологических окружностей, которые сцеплены и образуют брунново зацепление (то есть удаление любого кольца приведёт к разъединению двух оставшихся колец). Другими словами, никакие два из трёх колец не сцеплены, как в зацеплении Хопфа, тем не менее, все вместе они сцеплены.

Содержание

Математические свойства

Несмотря на кажущуюся из иллюстраций естественность колец Борромео, из геометрически идеальных окружностей такое зацепление сделать невозможно[3]. Также это можно увидеть, рассмотрев диаграмму узла: если предположить, что окружности 1 и 2 касаются в двух точках пересечения, то они лежат либо в одной плоскости, либо на сфере. В обоих случаях третья окружность должна пересекать эту плоскость или сферу в четырёх точках и не лежать на ней, что невозможно[4].

В то же время подобное зацепление можно осуществить с помощью эллипсов, причём Эксцентриситет этих эллипсов можно сделать сколь угодно малым. По этой причине тонкие кольца, сделанные из гибкой проволоки, можно использовать как кольца Борромео.

Зацепление

В теории узлов кольца Борромео являются простейшим примером бруннова зацепления — хотя любая пара колец не сцеплена, их нельзя расцепить.

Простейший способ это доказать — рассмотреть фундаментальную группу дополнения двух несцеплённых окружностей; по теореме Зейферта — ван Кампена это свободная группа с двумя образующими, a и b, а тогда третьему циклу соответствует класс коммутатора, [a, b] = aba1b1, что можно видеть из диаграммы зацепления. Этот коммутатор нетривиален в фундаментальной группе, а потому кольца Борромео сцеплены.

В арифметической топологии[англ.] существует аналогия между узлами и простыми числами, позволяющая прослеживать связи простых чисел. Тройка простых чисел (13, 61, 937) является связанной по модулю 2 (её символ Редеи[англ.] равен 1), но попарно по модулю 2 эти числа не связаны (все символы Лежандра равны 1). Такие простые называются «правильными тройками Борромео по модулю 2»[5] или «простыми Борромео по модулю 2».[6]

Гиперболическая геометрия

Кольца Борромео являются примером гиперболического сцепления[англ.] — дополнение колец Борромео в 3-сфере допускает полную гиперболическую[англ.] метрику с конечным объёмом. Каноническое разложение (Эпштейна — Пеннера) дополнения состоит из двух правильных октаэдров. Гиперболический объём равен 16Л(/4) = 7.32772…, где Л — функция Лобачевского[англ.].[7]

Связь с косами

Если рассечь кольца Борромео, получим одну итерацию обычного плетения косы. Обратно, если связать концы (одной итерации) обычной косы, получим кольца Борромео. Удаление одного кольца освобождает оставшихся два, и удаление одной ленты из косы освобождает две другие — они являются простейшими брунновым зацеплением и брунновой косой[англ.]* соответственно.

В стандартной диаграмме зацепления кольца Борромео упорядочены в циклическом порядке. Если использовать цвета, как выше, красное будет лежать над зелёным, зелёное над синим, синее над красным, и при удалении одного из колец одно из оставшихся будет лежать над другим и они окажутся незацеплёнными. Так же и с косой: каждая лента лежит над второй и под третьей.

История

Название «кольца Борромео» появилось из-за их использования на гербе аристократической семьи Борромео в северной Италии. Зацепление много старше и появлялось в виде валькнута на картинных камнях викингов, которые датируются седьмым веком.

Кольца Борромео использовались в различных контекстах, таких как религия и искусство, для того чтобы показать силу единства. В частности кольца использовались как символ Троицы. Известно, что психоаналитик Жак Лакан нашёл вдохновение в кольцах Борромео как модели топологии человеческой личности, в которой каждое кольцо представляет фундаментальный компонент реальности («действительное», «воображаемое» и «символическое»).

В 2006 году Международный математический союз принял решение использовать логотип, основанный на кольцах Борромео, для XXV международного конгресса математиков в Мадриде, Испания[8].

Каменный столб в храме Марундиисварар[англ.] в Ченнаи, Тамилнад, Индия, датируемый шестым веком, содержит такую фигуру[9][10].

Частичные кольца

Известно много визуальных знаков, относящихся к средним векам и временам ренессанса, состоящих из трёх элементов, сцеплённых друг с другом тем же способом, что и кольца Борромео (в их общепринятом двумерном представлении), но индивидуальные элементы при этом не представляют замкнутых колец. Примерами таких символов служат рога на камне Snoldelev[англ.] и полумесяцы Дианы де Пуатье. Примером знака с тремя различными элементами служит эмблема клуба Интернасьонал. Хоть и в меньшей степени, к этим символам относятся ганкиил[англ.] и диаграмма Венна из трёх элементов.

Также узел «обезьяний кулак», по существу, является трёхмерным представлением колец Борромео, хотя узел состоит из трёх уровней.

Большее количество колец

Некоторые соединения в теории узлов содержат множественные конфигурации колец Борромео. Одно соединение такого типа, состоящее из пяти колец, используется в качестве символа в дискордианизме, основанное на изображении из книги «Принципия Дискордия».

Реализации

Молекулярные кольца Борромео — молекулярные аналоги колец Борромео, которые являются механически сцеплёнными молекулярными структурами[англ.]. В 1997 году биолог Мао Чэндэ (Chengde Mao) с соавторами из Нью-Йоркского университета успешно сконструировали кольца из ДНК[11]. В 2003 году химик Фрейзер Стоддарт с соавторами из Калифорнийского университета, использовали комплексные соединения для построения набора колец из 18 компонентов за одну операцию[12].

Квантово-механический аналог колец Борромео называется ореолом или состоянием Ефимова (существование таких состояний было предсказано физиком Виталием Николаевичем Ефимовым в 1970 году). В 2006 году исследовательская группа Рудольфа Грима и Ганса-Кристофа Нэгерля из Института экспериментальной физики Инсбрукского университета (Австрия) экспериментально подтвердила существование таких состояний в ультрахолодном газе атомов цезия и опубликовала открытие в научном журнале Nature[13]. Группа физиков под руководством Рандалла Хулета (Randall Hulet) в университете Райса в Хьюстоне получили тот же самый результат с помощью трёх связанных атомов лития и опубликовали своё открытие в журнале Science Express[14]. В 2010 году группа под управлением К. Танака получила состояние Ефимова с нейтронами (нейтронный ореол)[15].

См. также

Примечания
  1. Morrison S., Bar-Natan D. The Knot Atlas (англ.) — 2005.
  2. Название возникло из герба семьи Борромео, на котором эти кольца присутствуют.
  3. Freedman-Skora, 1987.
  4. Lindstrm, Zetterstrm, 1991.
  5. Denis Vogel. Massey products in the Galois cohomology of number fields. — 13 February 2004.
  6. Masanori Morishita. Analogies between Knots and Primes, 3-Manifolds and Number Rings. — 22 April 2009. — arXiv:0904.3399.
  7. William Thurston. The Geometry and Topology of Three-Manifolds. — March 2002. — С. Ch 7. Computation of volume p. 165.
  8. ICM 2006. Дата обращения: 20 мая 2015. Архивировано 3 марта 2016 года.
  9. Lakshminarayan, 2007.
  10. Blog entry by Arul Lakshminarayan
  11. Mao, Sun, Seeman, 1997, с. 137–138.
  12. Эта работа была опубликована в журнале Science 2004, 304, 1308—1312. Abstract Архивная копия от 8 декабря 2008 на Wayback Machine
  13. Kraemer, 2006, с. 315–318.
  14. Moskowitz, 2009.
  15. Tanaka, 2010, с. 062701.


Литература
  • Clara Moskowitz. Strange Physical Theory Proved After Nearly 40 Years // Live Science. — 2009. — Вып. December 16.
  • K. Tanaka. Observation of a Large Reaction Cross Section in the Drip-Line Nucleus 22C // Physical Review Letters. — 2010. — Т. 104, вып. 6. — doi:10.1103/PhysRevLett.104.062701.
  • T. Kraemer, M. Mark, P. Waldburger, J. G. Danzl, C. Chin, B. Engeser, A. D. Lange, K. Pilch, A. Jaakkola, H.-C. Ngerl and R. Grimm. Evidence for Efimov quantum states in an ultracold gas of caesium atoms // Nature. — 2006. — Т. 440, вып. 7082. — doi:10.1038/nature04626. — . — arXiv:cond-mat/0512394. — PMID 16541068.
  • C. Mao, W. Sun, N. C. Seeman. Assembly of Borromean rings from DNA // Nature. — 1997. — Т. 386. — doi:10.1038/386137b0. — PMID 9062186.
  • Arul Lakshminarayan. Borromean Triangles and Prime Knots in an Ancient Temple. — Indian Academy of Sciences, 2007. — Вып. May.
  • P. R. Cromwell, E. Beltrami and M. Rampichini, «The Borromean Rings», Mathematical Intelligencer Vol. 20 no. 1 (1998) 53-62.
  • Michael H. Freedman, Richard Skora. Strange Actions of Groups on Spheres // Journal of Differential Geometry. — 1987. — Т. 25. — С. 75–98.
  • Bernt Lindstrm, Hans-Olov Zetterstrm. Borromean Circles are Impossible // American Mathematical Monthly. — 1991. — Т. 98, вып. 4. — С. 340–341. — doi:10.2307/2323803. — . Статья объясняет, почему кольца Борромео не могут быть абсолютно круглыми
  • R. Brown, J. Robinson. Borromean circles. Letter // American Mathematical Monthly. — 1992. — Вып. 4 (April). — С. 376–377.. Статья показывает, что существуют квадраты Борромео, и эти квадраты были воплощены в скульптуре Джоном Робинсоном, который воплотил и другие формы этой структуры.
  • W. W. Chernoff. (English summary) 15th British Combinatorial Conference (Stirling, 1995). // Discrete Math.. — 1997. — Т. 167/168. — С. 197–204. Статья рассматривает другие многоугольники.


Ссылки
Downgrade Counter