Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами[1], состоит из двух окружностей, зацеплённых однократно[2] и названо по имени Хайнца Хопфа[3].
Содержание
Геометрическое представление
Конкретная модель состоит из двух единичных окружностей в перпендикулярных плоскостях, таких что каждая проходит через центр другой[2]. Эта модель минимизирует длину верёвки[англ.] (длина верёвки — инвариант теории узлов) зацепления и до 2002 года зацепление Хопфа являлось единственным, у которого длина верёвки была известна [4]. Выпуклая оболочка этих двух окружностей образует тело, называемое олоидом[5].
Свойства
В зависимости от относительной ориентации[англ.] двух компонент коэффициент зацепления Хопфа равен ±1[6].
Зацепления Хопфа является (2,2)-торическим зацеплением[7] с описывающим словом[8] .
Дополнение зацепления Хопфа — , цилиндр над тором[9]. Это пространство имеет локально евклидову геометрию, так что зацепление Хопфа не является гиперболическим. Группа узлов зацепления Хопфа (фундаментальная группа его дополнения) — это (свободная абелева группа на двух генераторах) и она отличает зацепление Хопфа от двух незацеплённых окружностей, которым соответствует свободная группа на двух генераторах[10].
Зацепление Хопфа не может быть раскрашено в три цвета. Это непосредственно следует из факта, что зацепление можно раскрасить лишь в два цвета, что противоречит второй части определения раскраски. В каждом пересечении будет максимум 2 цвета, так что при раскраске мы нарушим требование иметь 1 или 3 цвета в каждом пересечении, либо нарушим требование иметь более 1 цвета.
Расслоение Хопфа
Расслоение Хопфа — это непрерывное отображение из 3-сферы (трёхмерная поверхность в четырёхмерном евклидовом пространстве) в более привычную 2-сферу, такое, что прообраз каждой точки на 2-сфере является окружностью. Таким образом получается разложение 3-сферы на непрерывное семейство окружностей и каждые две различных окружности из этого семейства образуют зацепление Хопфа. Этот факт и побудил Хопфа заняться изучением зацеплений Хопфа — поскольку любые два слоя зацеплены, расслоение Хопфа является нетривиальным расслоением[англ.]. С этого началось изучение гомотопических групп сфер[11].
История
Зацепление названо именем тополога Хайнца Хопфа, исследовавшего его в 1931 году в работе по расслоению Хопфа[12]. Однако такое зацепление использовал ещё Гаусс[3], а вне математики оно встречалось задолго до этого, например, в качестве герба японской буддийской секты Бузан-ха[англ.], основанной в XVI столетии.
См. также- Катенаны, химические соединения с двумя механически сцеплёнными молекулами
- Узел Соломона, два кольца с двойным зацеплением
Примечания
- Adams, 2004, с. 151.
- 1 2 Kusner, Sullivan, 1998, p. 67–78.
- 1 2 Прасолов, Сосинский, 1997, с. 12.
- Cantarella, Kusner, Sullivan, 2002, p. 257–286.
- Dirnbck, Stachel, 1997, p. 105–118.
- Adams, 2004.
- Kauffman, 1987, p. 373.
- Adams, 2004, p. 133, Exercise 5.22.
- Turaev, 2010, p. 194.
- Hatcher, 2002, p. 24.
- Shastri, 2013, p. 368.
- Hopf, 1931, p. 637–665.
Литература- Прасолов В. В., Сосинский А. Б. . Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.
- Cantarella J., Kusner R. B., Sullivan J. M. On the minimum ropelength of knots and links // Inventiones Mathematicae. — 2002. — Vol. 150, no. 2. — doi:10.1007/s00222-002-0234-y. — arXiv:math/0103224.
- Dirnbck H., Stachel H. The development of the oloid // Journal for Geometry and Graphics. — 1997. — Vol. 1, no. 2.
- Hopf, Heinz. ber die Abbildungen der dreidimensionalen Sphre auf die Kugelflche // Mathematische Annalen. — Berlin: Springer, 1931. — doi:10.1007/BF01457962.
Ссылки
|
|