Меню Главная Случайная статья Настройки Кольцо с единицей Материал из https://ru.wikipedia.org Кольцо с единицей — кольцо, содержащее двусторонний нейтральный элемент относительно умножения, называемый единицей кольца. Кольцами с единицей являются кольца целых, рациональных, действительных чисел, кольцевая единица в них совпадает с числом 1. Кольцо матриц — кольцо с единицей — единичной матрицей. Кольцо многочленов также является кольцом с единицей — многочленом 1 (нулевой степени). Единицей операторной алгебры является тождественный оператор. Всякое подкольцо кольца с единицей также является кольцом с единицей. Тривиальное кольцо — кольцо с единицей из одного элемента, единственное из колец, в котором единица совпадает с нулём — нейтральным элементом относительно сложения (в поле по определению требуется, чтобы существовала единица, отличная от нуля). В категории колец с единицей ${\displaystyle \mathbf {Ring} }$ тривиальное кольцо является терминальным объектом, начальным объектом в ней является кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. В отличие от общей категории колец ${\displaystyle \mathbf {Rng} }$, категория колец с единицей полна и кополна. В кольцах с единицей может быть введено понятие обратимого элемента — элемента ${\displaystyle u}$, являющийся двусторонним делителем единицы, то есть: ${\displaystyle \exists v_{1}:v_{1}\,u=1}$, ${\displaystyle \exists v_{2}:u\,v_{2}=1}$; из ассоциативности умножения следует, что в таком случае ${\displaystyle v_{1}=v_{2}}$, откуда следует, что выбор единственнен. Обратимые элементы иногда называют алгебраическими единицами (англ. unity, фр. unit), в связи с чем иногда возникает неоднозначность собственно с единицей кольца. Если ${\displaystyle e\in R}$ — идемпотент в кольце, и идеалы ${\displaystyle eR}$ и ${\displaystyle Re}$ совпадают, то эти идеалы являются кольцом с единицей ${\displaystyle e}$. Любую алгебру над коммутативным кольцом, даже не обязательно ассоциативную, можно расширить на одну размерность, добавив элемент ${\displaystyle \mathbf {1} }$ и определив умножение на линейных комбинациях как: ${\displaystyle (a_{1}+\mu _{1}{\mathbf {1} })(a_{2}+\mu _{2}{\mathbf {1} })=a_{1}a_{2}+\mu _{1}a_{2}+\mu _{2}a_{1}+\mu _{1}\mu _{2}{\mathbf {1} }}$ с сохранением таких свойств как ассоциативность и коммутативность умножения. Элемент ${\displaystyle \mathbf {1} }$ будет являться единицей расширенной алгебры. Если в алгебре уже была единица, то после расширения она превратится в необратимый идемпотент. Поскольку всякое кольцо является ассоциативной алгеброй над кольцом целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, то и всякое кольцо можно превратить в кольцо с единицей таким же построением. В градуированной алгебре единица (если существует) обязана иметь степень 0. Литература Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.