Меню Главная Случайная статья Настройки Конец топологического пространства Материал из https://ru.wikipedia.org Конец топологического пространства — грубо говоря, компонента связности его «идеальной границы». То есть, каждый конец представляет собой способ двигаться к бесконечности в пространстве. Добавление точки на каждом конце даёт компактификацию исходного пространства, известную как конечная компактификация. Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 История 4 Вариации и обобщения 5 Ссылки Определение Пусть X — топологическое пространство, и пусть ${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset \dots }$ есть возрастающая последовательность компактных подмножеств в X, чьи внутренности покрывают X. Тогда X имеет один конец для каждой последовательности ${\displaystyle U_{1}\supset U_{2}\supset \dots }$, где каждое Un — это компонента связности дополнения X\Kn. Несложно доказать, что число концов не зависит от конкретной последовательности {Kn} компактных множеств. Примеры Компактное пространство не имеет концов. Вещественная прямая ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ имеет два конца, и . Евклидово пространство ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ при n > 1 имеет только один конец. Это происходит потому, что у ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K}$ есть только одна неограниченная компонента для любого компакта K. Более того, если М — компактное многообразие с краем, то число концов его внутренности равно числу компонент связности границы М. Объединение n лучей, исходящих из начала координат в ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{2}}$, имеет n концов. Бесконечное полное бинарное дерево имеет несчётное число концов. Эти концы можно рассматривать в качестве «кроны» бесконечного дерева. В конечной компактификации множество концов гомеоморфно Канторову множеству. История Понятие конца топологического пространства было введено Гансом Фройденталем в 1931 году. Вариации и обобщения Определение конца данное выше относится только к пространствам X, которые допускают исчерпывание компактами. Однако оно может быть обобщено следующим образом: пусть X — любое топологическое пространство, рассмотрим прямую систему {K} компактных подмножеств в X с отображениями включения. Рассмотрим соответствующую обратную систему связных компонент дополнений {0(X\K)}. Тогда множество концов в Х определяется как обратный предел этой обратной системы. Ссылки Diestel, Reinhard; Khn, Daniela (2003), Graph-theoretical versus topological ends of graphs, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 87 (1): 197–206, doi:10.1016/S0095-8956(02)00034-5, MR 1967888. Ross Geoghegan, Topological methods in group theory, GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1. Peter Scott, Terry Wall, Topological methods in group theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 36, Cambridge Univ. Press (1979) 137—203.