Меню Главная Случайная статья Настройки Конхоидное преобразование Материал из https://ru.wikipedia.org Конхоидное преобразование (англ. conchoidal transform, от др.-греч. — похожий на раковину) — точечное преобразование плоскости, переводящее точку в конхоиду — точку, радиус-вектор которой увеличен или уменьшен на постоянную величину относительно радиус-вектора исходной точки[1]. Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос с фиксированным направлением. При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено. Содержание 1 Уравнения конхоидного преобразования 2 Конхоидное преобразование кривых 3 Общее конхоидное преобразование 4 Конхоидное преобразование в многомерном пространстве 5 Примечания 6 Источники Уравнения конхоидного преобразования Если координаты исходной точки в полярной системе координат ${\displaystyle (r,\,\varphi ),\,}$ то координаты преобразованной ${\displaystyle (r+l,\,\varphi ),\,}$ то есть уравнение конхоидного преобразования имеет следующий вид (см. рисунок справа вверху в начале статьи)[1][2]: ${\displaystyle r'=r+l,\,}$ ${\displaystyle \varphi '=\varphi .}$ Начало радиус-вектора называется полюсом конхоиды (в данном случае это начало координат ${\displaystyle (0,\,0)\,}$), а постоянная величина приращения радим-вектора ${\displaystyle l\,}$ — модулем конхоиды[2]. Направление радиус-вектора называется направлением конхоиды. Конхоидные преобразования ${\displaystyle r'=r+l}$ с фиксированным полюсом и направлением образуют: точки вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с координатами ${\displaystyle l}$; абелеву группу, изоморфную группе параллельных переносов ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то есть группе сложения вещественных чисел, поскольку выполняются два свойства этого преобразования[3]: композиция двух конхоидных преобразований есть конхоидное преобразование: ${\displaystyle r''\circ r'=(r+l'')\circ (r+l')=(r+l')+l''=}$ ${\displaystyle =r+(l'+l'')=r+l''';}$ преобразование, обратное конхоидному преобразованию ${\displaystyle r=r+l}$, есть конхоидное преобразование ${\displaystyle r^{-1}=r-l}$: ${\displaystyle (r-l)\circ (r+l)=(r+l)-l=r.}$ Конхоидные преобразования ${\displaystyle r'=r+l}$ только с фиксированным полюсом образуют точки проективно-вещественной плоскости ${\displaystyle \mathbb {P} \times \mathbb {R} }$ с координатами ${\displaystyle ((r\cos \varphi ,\,r\sin \varphi );\,l)}$ и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования с фиксированными полюсом и разными направлениями не образуют композиции. На комплексной плоскости уравнение конхоидного преобразования с полюсом в начале координат имеет следующий вид (см. рисунок справа вверху)[1]: ${\displaystyle z'=z+l{\sqrt {\frac {z}{\bar {z}}}}=z+l{\frac {z}{|z|}}=z+le^{i\varphi },}$ где ${\displaystyle e^{i\varphi }}$ — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса ${\displaystyle (0,\,0)\,}$ к произвольной точке плоскости ${\displaystyle z=x+iy;\,}$ ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x}{|z|}};\,}$ ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {y}{|z|}}.}$ Обычное уравнение конхоидного преобразования с полюсом в начале координат произвольной точки декартовой плоскости имеет следующий вид: ${\displaystyle a'=a+l{\frac {a}{|a|}}=a+le,}$ где ${\displaystyle e\,}$ — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке пространства ${\displaystyle a}$ (см. рисунок справа вверху). На декартовой плоскости конхоидное преобразование с полюсом в начале координат имеет следующий параметрический вид как декартовых координат конхоиды ${\displaystyle r'=r+l}$ (см. рисунок справа вверху)[4][5]: ${\displaystyle x=x(t)\left(1+{\frac {l}{\sqrt {x^{2}(t)+y^{2}(t)}}}\right),}$ ${\displaystyle y=y(t)\left(1+{\frac {l}{\sqrt {x^{2}(t)+y^{2}(t)}}}\right),}$ а с произвольным полюсом ${\displaystyle (x_{0},\,y_{0})}$ — более сложный параметрический вид[5]: ${\displaystyle x=x(t)+\left({\frac {l(x(t)-x_{0})}{\sqrt {(x(t)-x_{0})^{2}+(y(t)-y_{0})^{2}}}}\right),}$ ${\displaystyle y=y(t)+\left({\frac {l(y(t)-y_{0})}{\sqrt {(x(t)-x_{0})^{2}+(y(t)-y_{0})^{2}}}}\right),}$ Конхоидное преобразование кривых Конхоидное преобразование используется для образования новых плоских кривых — конхоид из исходных — директрис[6], или базисов[7]. В этом случае его уравнение могут записать в виде ${\displaystyle r(\varphi )=f(\varphi )\pm l,\,}$ ${\displaystyle l>0,}$ где ${\displaystyle r(\varphi )=f(\varphi )}$ — уравнение директрисы. и говорить о ${\displaystyle 2m}$ ветвях конхоиды, которые соответствуют прибавлению и вычитанию положительной константы ${\displaystyle l}$ к координатам ${\displaystyle f(\varphi ),\,}$ соответствующим ${\displaystyle m}$ точкам — максимальному количеству точек пересечения директрисы с произвольной прямой ${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}}$. Обычно рассматривают случаи с ${\displaystyle m=1}$[1][2][8][4][5]. Например, конхоида Никомеда как конхоида прямой и улитка Паскаля как конхоида окружности с полюсом на окружности относятся к случаю ${\displaystyle m=1,\,}$ а конхоида конхоиды — вторая конхоида — и конхоида окружности, когда полюс не лежит на окружности — к случаю ${\displaystyle m=2.}$ При ${\displaystyle l=0}$ конхоида совпадает со своей директрисой, а при ${\displaystyle l\to \infty }$ — с бесконечно удалёнными точками на окружности бесконечного радиуса. При ${\displaystyle f(\varphi _{0})=0}$ угол ${\displaystyle \varphi _{0}}$ выбирается по непрерывности конхоиды. Конхоиды ${\displaystyle r=f+l}$ с фиксированным полюсом, аналогично точечным конхоидным преобразованиям, образуют (если ветвей несколько, то берётся нужная): точки вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с координатами ${\displaystyle l}$; коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то есть группе сложения вещественных чисел, поскольку выполняются два свойства этого преобразования[3]: Когда обе ветви конхоиды совпадают, то есть совпадают кривые ${\displaystyle r(\varphi )=f(\varphi )+l,\,}$ ${\displaystyle r(\varphi )=f(\varphi )-l,\,}$ ${\displaystyle l>0,}$ директриса ${\displaystyle f(\varphi )}$ называется минимальной конхоидой, поскольку любая конхоида с этой первоначальной директрисой не может быть «меньше» минимальной конхоиды: для любой первой конхоиды минимальной директрисы ${\displaystyle r(\varphi )=f(\varphi )\pm l,\,}$ ${\displaystyle l>0}$ две из четырёх ветвей второй конхоиды (с первой конхоидой как директрисой) ${\displaystyle r(\varphi )=(f(\varphi )\pm l)\mp 2l,\,}$ ${\displaystyle l>0}$ совпадают друг с другом и с исходной первой конхоидой. Например, минимальная конхоида — базовая окружность улитки Паскаля. Общее конхоидное преобразование В общем случае полюс конхоидного преобразования может быть произвольным, то есть уравнение конхоидного преобразования на комплексной плоскости имеет следующий вид (см. рисунок справа): ${\displaystyle z'=z+l{\sqrt {\frac {z-z_{0}}{\overline {z-z_{0}}}}}=}$ ${\displaystyle =z+l{\frac {z-z_{0}}{|z-z_{0}|}}=}$ ${\displaystyle =z+le^{i\varphi },}$ где ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}\,}$ — полюс; ${\displaystyle l\,}$ — модуль; ${\displaystyle e^{i\varphi }\,}$ — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке плоскости ${\displaystyle z=x+iy;\,}$ ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x-x_{0}}{|z-z_{0}|}};\,}$ ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {y-y_{0}}{|z-z_{0}|}}.}$ Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос. При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено. Два конхоидных преобразования ${\displaystyle z'=z+le^{i\varphi }\,}$ и ${\displaystyle z''=z'+l'e^{i\varphi '},\,}$ действующие на одной прямой, эквивалентны на прямой, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться): ${\displaystyle l=l',\,}$ ${\displaystyle e^{i\varphi }=e^{i\varphi '},\,}$ ${\displaystyle z,\,z',\,z''}$ коллинеарны. Конхоидные преобразования ${\displaystyle z'=z+le^{i\varphi }}$, действующие на одной прямой, с точностью до эквивалентных преобразований образуют: точки вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с координатами ${\displaystyle l}$; абелеву группу, изоморфную группе параллельных переносов ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то есть группе сложения вещественных чисел. Два произвольных конхоидных преобразования ${\displaystyle z'=z+le^{i\varphi }\,}$ и ${\displaystyle z''=z'+l'e^{i\varphi '}\,}$ эквивалентны, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться): ${\displaystyle l=l',\,}$ ${\displaystyle e^{i\varphi }=e^{i\varphi '}.}$ Конхоидные преобразования ${\displaystyle z'=z+le^{i\varphi }}$ одинакового направления с точностью до эквивалентных преобразований образуют точки вещественной плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ с координатами ${\displaystyle (x+y,\,l)}$ и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования одного направления, не лежащие на одной прямой, не образуют композиции. Конхоидное преобразование имеет обратное преобразование ${\displaystyle z^{-1}=z-le^{i\varphi }:}$ ${\displaystyle z-le^{i\varphi }\circ z+le^{i\varphi }=z+le^{i\varphi }-le^{i\varphi }=z,\,}$ а также композиция двух конхоидных преобразований есть снова конхоидное преобразование, так как сумма комплексных чисел есть снова комплексное число: ${\displaystyle z''\circ z'=z'+l'e^{i\varphi '}\circ z+le^{i\varphi }=z+le^{i\varphi }+l'e^{i\varphi '}=}$ ${\displaystyle =z+l''e^{i\varphi ''}=z+l''{\frac {z-z''_{0}}{|z-z''_{0}|}},}$ другими словами, конхоидные преобразования ${\displaystyle z'=z+le^{i\varphi }}$ с точностью до эквивалентных преобразований образуют коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, то есть группе сложения радиус-векторов плоскости, поскольку выполняются эти два групповые свойства[3]. Пусть заданы два конхоидных преобразования своими полюсами соответственно ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}\,}$ и ${\displaystyle z_{0}'=x_{0}'+iy_{0}'\,}$ и модулями соответственно ${\displaystyle l\,}$ и ${\displaystyle l',\,}$ а также задана исходная произвольная точка плоскости ${\displaystyle z=x+iy\,}$ (см. рисунок справа). Тогда первая конхоида ${\displaystyle z'}$ исходной точки ${\displaystyle z}$ равна ${\displaystyle z'=z+le^{i\varphi },\,}$ ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x-x_{0}}{|z-z_{0}|}};\,}$ ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {y-y_{0}}{|z-z_{0}|}},\,}$ а конхоида ${\displaystyle z''}$ первой конхоиды ${\displaystyle z'}$ (вторая конхоида исходной точки) равна ${\displaystyle z''=z'+l'e^{i\varphi '},\,}$ ${\displaystyle \cos \varphi '={\frac {x'-x_{0}'}{|z'-z_{0}'|}};\,}$ ${\displaystyle \sin \varphi '={\frac {y'-y_{0}'}{|z'-z_{0}'|}}.}$ Из композиции двух конхоидных преобразования ${\displaystyle z'\circ z=z+le^{i\varphi }+l'e^{i\varphi '}=z+l''e^{i\varphi ''},\,}$ ${\displaystyle \cos \varphi ''={\frac {x-x_{0}''}{|z-z_{0}''|}};\,}$ ${\displaystyle \sin \varphi ''={\frac {y-y_{0}''}{|z-z_{0}''|}},\,}$ получаем два уравнения ${\displaystyle l''\cos \varphi ''=l\cos \varphi +l'\cos \varphi ',\,}$ ${\displaystyle l''\sin \varphi ''=l\sin \varphi +l'\sin \varphi ',\,}$ из которых вычисляем модуль ${\displaystyle l''}$ композиции (см. рисунок справа вверху) ${\displaystyle l''^{2}=(l\cos \varphi +l'\cos \varphi ')^{2}+(l\sin \varphi +l'\sin \varphi ')^{2}=}$ ${\displaystyle =l^{2}+l'^{2}+2ll'(\cos \varphi \cos \varphi '+\sin \varphi \sin \varphi ')=}$ ${\displaystyle =l^{2}+l'^{2}+2ll'\cos(\varphi '-\varphi ),}$ где ${\displaystyle \pi -(\varphi '-\varphi )}$ — угол при вершине ${\displaystyle z'}$ треугольника ${\displaystyle zz'z''}$ (получили теорему косинусов). Для вычисления полюса ${\displaystyle z_{0}''=x_{0}''+iy_{0}''}$ одного из преобразований, эквивалентного композиции, предположим, что ${\displaystyle z''-z=z-z_{0}'',\,}$ откуда (см. рисунок справа вверху) ${\displaystyle z_{0}''=2z-z''.}$ Конхоидное преобразование в многомерном пространстве Уравнение общего конхоидного преобразования произвольной точки ${\displaystyle n}$-мерного декартового пространства имеет следующий вид: ${\displaystyle a'=a+l{\frac {a-a_{0}}{|a-a_{0}|}}=a+le,}$ где ${\displaystyle a_{0}=(a_{01},\,a_{02},\,\dots ,\,a_{0n})\,}$ — полюс; ${\displaystyle l\,}$ — модуль; ${\displaystyle e=(e_{1},\,e_{2},\,\dots ,\,e_{n})\,}$ — единичный вектор, определяющий направление конхоидного преобразования от полюса к произвольной точке пространства ${\displaystyle a=(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n}).}$ Если полюс бесконечно удалён, то конхоидное преобразование вырождается в параллельный перенос. При нулевом радиус-векторе конхоидное преобразование не определено. Два конхоидных преобразования ${\displaystyle a'=a+le}$ и ${\displaystyle a''=a'+l'e,}$ действующие на одной прямой, эквивалентны на прямой, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться): ${\displaystyle l=l',\,}$ ${\displaystyle e=e',\,}$ ${\displaystyle a,\,a',\,a''}$ коллинеарны. Конхоидные преобразования ${\displaystyle a'=a+le}$, действующие на одной прямой, с точностью до эквивалентных преобразований образуют: точки вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с координатами ${\displaystyle l}$; абелеву группу, изоморфную группе параллельных переносов ${\displaystyle \mathbb {R} }$, то есть группе сложения вещественных чисел. Два конхоидных преобразования ${\displaystyle a'=a+le\,}$ и ${\displaystyle a''=a'+le'\,}$ эквивалентны, если результаты их действия совпадают, то есть если равны их модули и направления (полюса могут различаться): ${\displaystyle l=l',\,}$ ${\displaystyle e=e'.}$ Конхоидные преобразования ${\displaystyle a'=a+le}$ одинакового направления с точностью до эквивалентных преобразований образуют точки ${\displaystyle n}$-мерного вещественного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с координатами ${\displaystyle (a_{1}+a_{2},\,a_{2}+a_{3},\,\dots ,\,a_{n-1}+a_{n},\,l)}$ и не образуют группу, поскольку конхоидные преобразования одного направления, не лежащие на одной прямой, не образуют композиции. Конхоидное преобразование имеет обратное преобразование ${\displaystyle a^{-1}=a-le:}$ ${\displaystyle a-le\circ z+le=a+le-le=a,\,}$ а также композиция двух конхоидных преобразований есть снова конхоидное преобразование, так как сумма радиус-векторов есть снова радиус-вектор: ${\displaystyle a'''=a''\circ a'=a'+l'e'\circ a+le=a+le+l'e'=}$ ${\displaystyle =a+l''e''=a+l''{\frac {a-a''_{0}}{|a-a''_{0}|}},}$ другими словами, конхоидное преобразование ${\displaystyle a'=a+le}$ с точностью до эквивалентных преобразований образует коммутативную группу, изоморфную группе параллельных переносов ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, то есть группе сложения радиус-векторов пространства, поскольку выполняются эти два групповые свойства[3].