Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Предел в теории категорий — понятие, обобщающее свойства таких конструкций, как произведение, декартов квадрат и обратный предел. Двойственное понятие копредела обобщает свойства таких конструкций, как дизъюнктное объединение, копроизведение, кодекартов квадрат и прямой предел.
Пределы и копределы, как и тесно связанные с ними понятия универсального свойства и сопряжённых функторов являются понятиями высокого уровня абстракции. Чтобы лучше их понять, полезно сначала изучить примеры конструкций, которые эти понятия обобщают.
Содержание
Определение
Пределы и копределы определяются при помощи диаграмм. Диаграмма типа J в категории
Категория
Пусть
Предел диаграммы F : J C — это конус (L, ) над F такой, что для любого конуса (N, ) над F существует единственный морфизм u : N L, такой что X o u = X для всех X в J.[1]
Аналогичным образом определяется понятие копредела — нужно обратить все стрелки. А именно:
Коконус диаграммы F : J C — это объект N категории C вместе с семейством морфизмов:
- X : F(X) N
для каждого X в J, такой, что для любого морфизма f : X Y в J верно Y o F(f) = X.
Копредел диаграммы F : J C — это коконус (L, ) такой, что для любого другого коконуса (N, ) существует единственный морфизм u : L N, такой, что u o X = X для всех X в J.
Как и любые универсальные объекты, пределы и копределы не всегда существуют, но если существуют, то определены с точностью до изоморфизма.
Примеры пределов
Определение категорного предела достаточно широкое, чтобы обобщить иные часто используемые категорные конструкции. В примерах рассматривается предел (L, ) диаграммы F : J C.
- Терминальные объекты. Если J — пустая категория, в C существует только одна диаграмма типа J — пустая. Конус над пустой диаграммой это просто любой объект категории C. Предел над F — это любой такой объект, в который существует единственный морфизм из любого объекта, то есть терминальный объект.
- Произведения. Здесь J — дискретная категория (без нетождественных морфизмов), а диаграмма определенная функтором F — семейство объектов C проиндексированных J и предел — это их произведение вместе с проекциями на сомножители, проекции образуют семейство морфизмов из определения конуса.
- Уравнитель. Здесь J — категория из двух объектов и двух параллельных морфизмов, тогда F — два параллельных морфизма и предел — это их уравнитель.
- Ядро — это частный случай уравнителя, где один из морфизмов нулевой.
- Декартов квадрат. Здесь J состоит из трёх объектов и морфизмов из первого и второго объекта в третий.
- Если J — категория из одного элемента и тождественного морфизма, то предел — это тот элемент, в который отобразилась J.
- Топологические пределы. Пределы функций — частный случай пределов фильтров, которые связаны с категорными пределами следующим образом. В данном топологическом пространстве X рассмотрим F — множество фильтров на X, точку x X, V(x) F — фильтр окрестностей x, A F — некоторый конкретный фильтр и — множество фильтров тоньше A и сходящихся к x. На фильтрах F можно задать структуру категории, сказав, что стрелка A B существует тогда и только тогда, когда A B. Вложение становится функтором и выполняется следующее утверждение:
- x — топологический предел A тогда и только тогда, когда A — категорный предел .[2]
Свойства
Существование
Говорят, что категория имеет пределы типа J, если любая диаграмма типа J имеет предел.
Категория называется полной, если она имеет предел для любой малой диаграммы (то есть диаграммы, элементы которой образуют множество). Аналогично определяются конечно полные и кополные категории.
Универсальное свойство
Рассмотрим категорию C с диаграммой J. Категорию функторов CJ можно считать категорией диаграмм типа J в C. Диагональный функтор — это функтор, отображающий элемент N категории C в постоянный функтор (N) : J C, отображающий всё в N.
Для данной диаграммы F: J C (понимаемой как объект CJ), естественное преобразование : (N) F (понимаемое как морфизм категории CJ) — то же самое, что конус из N в F. Компоненты — морфизмы X : N F(X).
Определения предела и копредела можно переписать как[3]:
- Предел F — универсальная стрелка из в F.
- Копредел F — универсальная стрелка из F в .
Функторы и пределы
Функтор G : C D индуцирует отображение из Cone(F) в Cone(GF). G сохраняет пределы в F, если (GL, G) — предел GF, когда (L, ) — предел F[4]. Функтор G сохраняет все пределы типа J, если он сохраняет пределы всех диаграмм F : J C. Например, можно говорить, что G сохраняет произведения, уравнители и т. д. Непрерывный функтор — это функтор, сохраняющий все малые пределы. Аналогичные определения вводятся для копределов.
Важное свойство сопряжённых функторов — то, что каждый правый сопряженный функтор непрерывен и каждый левый сопряженный функтор конепрерывен[5].
Функтор G : C D поднимает пределы для диаграммы F : J C если из того, что (L, ) — предел GF следует, что существует предел (L, ) в F, такой что G(L, ) = (L, )[6]. Функтор G поднимает пределы типа J, если он поднимает пределы для всех диаграмм типа J. Существуют двойственные определения для копределов.
Примечания
- Гольдблатт, 1983, с. 70-71.
- Mathematics Stack Exchange, answer of Stephan F. Kroneck (неопр.). Дата обращения: 6 апреля 2014. Архивировано 1 мая 2013 года.
- Маклейн, 2004, с. 81, 83.
- Маклейн, 2004, с. 137.
- Маклейн, 2004, с. 140.
- Admek, 1990, p. 227.
Литература- Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
|
|