Меню Главная Случайная статья Настройки Круговая орбита Материал из https://ru.wikipedia.org Круговая орбита — орбита, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центральной точки, создаваемая обращающимся вокруг неподвижной оси телом. Может рассматриваться как частный случай эллиптической орбиты при нулевом эксцентриситете. В Солнечной системе почти круговые орбиты у Венеры (эксцентриситет 0,0068) и Земли (эксцентриситет 0,0167). Далее будет рассматриваться понятие круговой орбиты в астродинамике и небесной механике. Центростремительной силой является гравитационная сила. Указанная выше неподвижная ось проходит через притягивающий центр перпендикулярно плоскости орбиты. Для данной орбиты не только расстояние от центра, но и линейная скорость, угловая скорость, потенциальная и кинетическая энергии являются постоянными. Перицентра и апоцентра нет. У круговой орбиты нет аналога среди радиальных траекторий. Содержание 1 Ускорение на круговой орбите 2 Скорость 3 Уравнение движения 4 Угловая скорость и орбитальный период 5 Энергия 6 Орбитальная скорость в общей теории относительности 6.1 Вывод уравнения 7 Ссылки Ускорение на круговой орбите Нормальное ускорение (перпендикулярное скорости) изменяет направление вектора скорости. Если оно постоянно по величине и меняется вместе с направлением скорости, то мы имеем круговое движение. Выполняется следующее равенство: ${\displaystyle a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\omega ^{2}}{r},}$ где ${\displaystyle v\,}$ — орбитальная скорость обращающегося тела, ${\displaystyle r\,}$ — радиус круговой орбиты, ${\displaystyle \omega \ }$ — угловая скорость, измеряемая в радианах в единицу времени. Если единицей измерения ${\displaystyle \mathbf {a} }$ выбрать метры, делённые на секунду в квадрате, то единицей измерения ${\displaystyle v\,}$ будут метры в секунду, ${\displaystyle r\,}$ — метры, ${\displaystyle \omega \ }$ — радианы в секунду Скорость Относительная скорость является постоянной: ${\displaystyle v={\sqrt {GM\! \over {r}}}={\sqrt {\mu \over {r}}},}$ где G — гравитационная постоянная, M — сумма масс обоих тел (M1+M2), хотя на практике, если масса одного из компонентов значительно превышает массу второго, то массой второго тела пренебрегают, что несильно сказывается на результате, ${\displaystyle \scriptstyle \mu =GM\,}$ — гравитационный параметр. Уравнение движения Уравнение орбиты в полярных координатах, показывающее в общем случае связь r и , упрощается до вида ${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }},}$ где ${\displaystyle h=rv}$ — угловой момент обращающегося тела, приходящийся на единицу массы. ${\displaystyle \mu =rv^{2}}$. Угловая скорость и орбитальный период ${\displaystyle \omega ^{2}r^{3}=\mu ,}$ следовательно орбитальный период (${\displaystyle T\,\!}$) можно вычислить как ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}.}$ Сравним две пропорциональные величины, время свободного падения (время падения на точечную массу из положения в состоянии покоя) ${\displaystyle T_{ff}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$ (17.7 % периода обращения по круговой орбите) и время падения на точечную массу по радиальной параболической траектории ${\displaystyle T_{par}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$ (7.5 % периода обращения по круговой орбите). Тот факт, что формулы отличаются только константой, можно вывести из анализа размерностей. Энергия Орбитальная энергия (${\displaystyle \epsilon \,}$), рассчитанная на единицу массы, отрицательна, ${\displaystyle {v^{2} \over {2}}=-\epsilon ,}$ ${\displaystyle -{\mu \over {r}}=2\epsilon .}$ Следовательно, теорему о вириале можно применить даже без усреднения по времени: кинетическая энергия системы равна по модулю полной энергии, потенциальная энергия равна удвоенному значению полной энергии. Скорость убегания равна круговой скорости, умноженной на 2: в таком случае сумма кинетической и потенциальной энергии обратится в ноль. Орбитальная скорость в общей теории относительности В метрике Шварцшильда орбитальная скорость для круговой орбиты радиуса ${\displaystyle r}$ определяется следующим выражением: ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}},}$ где ${\displaystyle \scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$ — радиус Шварцшильда центрального тела. Вывод уравнения Для удобства будем использовать единицы измерения, в которых ${\displaystyle \scriptstyle c=G=1}$. 4-вектор скорости для тела на круговой орбите задаётся выражением ${\displaystyle u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})}$ (${\displaystyle \scriptstyle r}$ постоянно на круговой орбите, координаты можно выбрать таким образом, что ${\displaystyle \scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$). Точка над символом переменной обозначает производную по собственному времени ${\displaystyle \scriptstyle \tau }$. Для массивной частицы компоненты 4-вектора удовлетворяют уравнению ${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2}=1.}$ Используем уравнение геодезической линии: ${\displaystyle {\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\sigma }=0.}$ Единственное нетривиальное уравнение при ${\displaystyle \scriptstyle \mu =r}$: ${\displaystyle {\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0.}$ Отсюда получаем ${\displaystyle {\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}.}$ Подставляем данное выражение в уравнение для массивной частицы: ${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}}^{2}=1.}$ Следовательно ${\displaystyle {\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}.}$ Предположим, что наблюдатель находится на радиуса ${\displaystyle \scriptstyle r}$ и не движется относительно центрального тела, то есть его 4-вектор скорости пропорционален вектору ${\displaystyle \partial _{t}}$. ${\displaystyle v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)}$ Произведение 4-векторов скорости наблюдателя и обращающегося тела приводит к выражению ${\displaystyle \gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}.}$ Отсюда получаем выражение для скорости: ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}}$ или, в единицах СИ, ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}.}$ Ссылки Lissauer, Jack J. Fundamental Planetary Sciences : physics, chemistry, and habitability / Jack J. Lissauer, Imke de Pater. — New York, NY, USA : Cambridge University Press, 2019. — P. 604. — ISBN 9781108411981.