Меню Главная Случайная статья Настройки Линейное дифференциальное уравнение Материал из https://ru.wikipedia.org В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид ${\displaystyle Ly=f}$ где дифференциальный оператор L линеен, y — известная функция ${\displaystyle y=y(t)}$, а правая часть ${\displaystyle f=f(t)}$ — функция от той же переменной, что и y. Линейный оператор L можно рассматривать в форме ${\displaystyle L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+A_{1}(t){\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(t){\frac {dy}{dt}}+A_{n}(t)y}$ При этом, если ${\displaystyle f(t)\equiv 0}$, то такое уравнение называется линейным однородным уравнением, иначе — линейным неоднородным уравнением. Содержание 1 Уравнения с переменными коэффициентами 1.1 Пример 2 Уравнение первого порядка 2.1 Пример 3 См. также 4 Уравнения с постоянными коэффициентами Уравнения с переменными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид ${\displaystyle p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0}(x)y(x)=r(x)}$ Пример Уравнение Коши — Эйлера, используемое в инженерии, является простым примером линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами ${\displaystyle x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0}$ Уравнение первого порядка Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид: ${\displaystyle y'(x)+f(x)y(x)=g(x)}$ Уравнения в такой форме могут быть решены путём умножения на интегрирующий множитель: ${\displaystyle e^{\int f(x)\,dx}}$ Уравнение запишется как: ${\displaystyle y'(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x)\,dx},}$ В силу того, что левая часть образует дифференциал произведения ${\displaystyle \left(y(x)e^{\int f(x)\,dx}\right)'=g(x)e^{\int f(x)\,dx}}$ Решение уравнения ${\displaystyle y'\left(x\right)+3y\left(x\right)=2}$ с начальными условиями ${\displaystyle y\left(0\right)=2}$ Имеем решение в общем виде ${\displaystyle y=e^{-3x}\left(\int 2e^{3x}\,dx+\kappa \right)}$ Решение неопределённого интеграла ${\displaystyle y=e^{-3x}\left(2/3e^{3x}+\kappa \right)}$ Можно упростить до ${\displaystyle y=2/3+\kappa e^{-3x}}$ где ${\displaystyle \kappa =}$ 4/3, после подстановки начальных условий в решение. Что, после интегрирования обеих частей, приводит к ${\displaystyle y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+C~,}$ ${\displaystyle y(x)={\dfrac {\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+C}{e^{\int f(x)\,dx}}}~.}$ Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка ${\displaystyle y'(x)+f(x)y(x)=g(x),}$ (в частности, с постоянными коэффициентами) имеет вид ${\displaystyle y(x)=e^{-{\int {f(x)\,dx}}}\left(\int g(x)e^{\int {f(x)\,dx}}\,dx+C\right)}$ где ${\displaystyle C}$ является константой интегрирования. Пример Возьмём дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами: ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+by=1.}$ Это уравнение имеет особое значение для систем первого порядка, таким как RC-схемы и масс-демпфер[неизвестный термин] системы. В этом случае p(x) = b, r(x) = 1. Следовательно, решение будет: ${\displaystyle y(x)=e^{-bx}\left(e^{bx}/b+C\right)=1/b+Ce^{-bx}.}$ См. также Метод функции Грина Уравнения с постоянными коэффициентами