Меню Главная Случайная статья Настройки Импликация Материал из https://ru.wikipedia.org Импликация (от лат. implicatio «связь; сплетение») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…, то…». Импликация записывается как посылка ${\displaystyle \Rightarrow }$ следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие. Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами[1][2]: посылка является условием, достаточным для выполнения следствия: следствие является условием, необходимым для истинности посылки. Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы[3]. При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением[4]. Содержание 1 Булева логика 2 Синонимические импликации выражения в русском языке 3 Многозначная логика 4 Теория множеств 5 Классическая логика 6 Интуиционистская логика 7 Логика силлогизмов 8 Лингвистика 9 См. также 10 Примечания 11 Литература 12 Ссылки Булева логика В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества ${\displaystyle \{0,1\}}$. Результат также принадлежит множеству ${\displaystyle \{0,1\}}$. Вычисление результата производится по простому правилу либо по таблице истинности. Вместо значений ${\displaystyle 0,1}$ может использоваться любая другая пара подходящих символов, например ${\displaystyle \operatorname {false} ,\operatorname {true} }$ или ${\displaystyle F,T}$ или «ложь», «истина». Правило: Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, операция ${\displaystyle A\to B}$ — это сокращённая запись выражения ${\displaystyle \neg A\lor B}$. Таблицы истинности: Прямая импликация (от a к b, ${\displaystyle \neg A\lor B}$) (материальная импликация[англ.], материальный кондиционал[англ.]) ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\to b,a\leqslant b}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ если первый операнд не больше второго операнда, то 1, если ${\displaystyle a\leqslant b}$, то истинно (1). «Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель: А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0). В — подчинённый. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчинённого начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчинённый бездельничает. Обратная импликация (от b к a, ${\displaystyle A\lor (\neg B)}$) ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leftarrow b,a\geqslant b}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ если первый операнд не меньше второго операнда, то 1, если ${\displaystyle a\geqslant b}$, то истинно (1). Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента). Отрицание (инверсия, негация) прямой импликации, коимпликация[5] (${\displaystyle A\land (\neg B)}$) ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\not \to b,a>b}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ если первый операнд больше второго операнда, то 1, если ${\displaystyle a>b}$, то истинно (1). Отрицание (инверсия, негация) обратной импликации, обратная коимпликация (${\displaystyle \lnot A\land B}$), разряд займа в двоичном полувычитателе. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\not \leftarrow b,a<b}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ если первый операнд меньше второго операнда, то 1, если ${\displaystyle a<b}$, то истинно (1). Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов. Синонимические импликации выражения в русском языке Если А, то Б Б в том случае, если А При А будет Б Из А следует Б В случае А произойдёт Б Б, так как А Б, потому что А А — достаточное условие для Б Б — необходимое условие для А А имплицирует Б А влечёт Б Многозначная логика Теория множеств Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом ${\displaystyle \Rightarrow }$, и ей соответствует вложение множеств: пусть ${\displaystyle A\subseteq B}$, тогда ${\displaystyle x\in A\Rightarrow x\in B.}$ Например, если ${\displaystyle A}$ — множество всех квадратов, а ${\displaystyle B}$ — множество прямоугольников, то, конечно, ${\displaystyle A\subset B}$ и (a — квадрат) ${\displaystyle \Rightarrow }$ (a — прямоугольник). (если a является квадратом, то a является прямоугольником). Классическая логика В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом. Можно доказать эквивалентность импликации ${\displaystyle A\rightarrow B}$ формуле ${\displaystyle \neg A\lor B}$ (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле ${\displaystyle \neg (A\land \neg B)}$, которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)). Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.