Меню Главная Случайная статья Настройки Метод Декарта — Эйлера Материал из https://ru.wikipedia.org Метод Декарта-Эйлера — один из способов решения алгебраического уравнения четвёртой степени, названный в честь Рене Декарта и Леонарда Эйлера. Содержание 1 История 2 Описание метода 3 Доказательство 4 См. также 5 Примечания 6 Ссылки История Идея сведения решения уравнения четвёртой степени восходит к Декарту (1637), который использовал подобный подход в своей работе «Геометрия».[1] Леонард Эйлер (1744) в своей работе «Универсальная арифметика» существенно развил и систематизировал метод, придав ему ту форму, в которой он обычно излагается. Поэтому метод носит имена обоих учёных. Описание метода Для уравнения четвёртой степени вида ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$, найти такое кубическое уравнение вида ${\displaystyle a_{3}z^{3}+a_{2}z^{2}+a_{1}z+a_{0}}$ с корнями ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$, которые различными сочетаниями дает корни исходного уравнения четвёртой степени Математически, для уравнения ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$ ${\displaystyle x_{1,2,3,4}=\pm {\sqrt {z}}_{1}\pm {\sqrt {z}}_{2}\pm {\sqrt {z}}_{3}-{\frac {b}{4a}}}$ Где ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ — корни кубического уравнения вида ${\displaystyle z^{3}+z^{2}{\frac {p}{2}}+z{\frac {p^{2}-4r}{16}}-{\frac {q^{2}}{64}}=0}$ ${\displaystyle p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$ ${\displaystyle q={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}$ ${\displaystyle r={\frac {-3b^{4}+16ab^{2}c-64a^{2}bd+256a^{3}e}{256a^{4}}}}$ Доказательство Имеем уравнение вида ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$ Путем замены ${\displaystyle y=x+{\frac {b}{4a}}}$, получаем ${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0}$, где ${\displaystyle p={\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$ ${\displaystyle q={\frac {b^{3}}{8a^{3}}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}$ ${\displaystyle r=-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {e}{a}}={\frac {-3b^{4}+16ab^{2}c-64a^{2}bd+256a^{3}e}{256a^{4}}}}$ Представим корень как сумму ${\displaystyle y=\alpha +\beta +\gamma }$, в таком случае ${\displaystyle (\alpha +\beta +\gamma )^{4}+p(\alpha +\beta +\gamma )^{2}+q(\alpha +\beta +\gamma )+r=0}$ Преобразовав получим ${\displaystyle (\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})^{2}+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )(4(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})+2p)+4(\alpha ^{2}\beta ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2}+\gamma ^{2}\alpha ^{2})+(\alpha +\beta +\gamma )(8\alpha \beta \gamma +q)+p(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})+r=0}$ Пусть ${\displaystyle 4(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})+2p=0}$ и ${\displaystyle 8\alpha \beta \gamma +q=0}$, тогда ${\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=-{\frac {p}{2}}}$ ${\displaystyle \alpha \beta \gamma =-{\frac {q}{8}}}$ ${\displaystyle \alpha ^{2}\beta ^{2}+\beta ^{2}\gamma ^{2}+\gamma ^{2}\alpha ^{2}={\frac {p^{2}-4r}{16}}}$ Вспомним теорему Виета[2] для кубического уравнения вида ${\displaystyle a_{3}z^{3}+a_{2}z^{2}+a_{1}z+a_{0}=0}$ ${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}+z_{2}+z_{3}=-{\dfrac {a_{2}}{a_{3}}}\\z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}={\dfrac {a_{1}}{a_{3}}}\\z_{1}z_{2}z_{3}=-{\dfrac {a_{0}}{a_{3}}}\end{cases}}}$ Заменяя ${\displaystyle \alpha ^{2}=z_{1};\beta ^{2}=z_{2};\gamma ^{2}=z_{3}}$, получим уравнение вида ${\displaystyle z^{3}+z^{2}{\frac {p}{2}}+z{\frac {p^{2}-4r}{16}}-{\frac {q^{2}}{64}}=0}$ Находя корни ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$, находим ${\displaystyle \alpha }$; ${\displaystyle \beta }$; ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha =\pm {\sqrt {z}}_{1};\beta =\pm {\sqrt {z}}_{2};\gamma =\pm {\sqrt {z}}_{3}}$ Так как ${\displaystyle y=\alpha +\beta +\gamma }$ и ${\displaystyle y=x+{\frac {b}{4a}}}$ подставив, получаем ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {z}}_{1}\pm {\sqrt {z}}_{2}\pm {\sqrt {z}}_{3}-{\frac {b}{4a}}}$ Различными сочетаниями знаков, при соблюдении условия ${\displaystyle (\pm {\sqrt {z_{1}}})(\pm {\sqrt {z_{2}}})(\pm {\sqrt {z_{3}}})=-{\frac {q}{8}}}$ получаем 4 корня исходного уравнения См. также Теорема Абеля — Руффини Уравнение четвёртой степени Метод Феррари Формула Кардано Кубическое уравнение Примечания Декарт Р. Геометрия. - М., 1938 // Электронный архив ГПНТБ России. — 94 - 99с. Разложение многочленов на множители. Формулы Виета // Резольвента, учебные материалы. Ссылки Татьяна Александровна Оболдина, Полина Евгеньевна Кед Методы решения уравнений четвертой степени cyberleninka.ru Файловый архив студентов StudFiles Решение алгебраических уравнений в «Универсальной арифметике» Л. Эйлера