Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Абеля о неразрешимости уравнений в радикалах Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Абеля, иногда назваемая теоремой Абеля — Руффини, утверждает, что общее алгебраическое уравнение степени ${\displaystyle n\geqslant 5}$ неразрешимо в радикалах[1]. Содержание 1 Подробности 2 Явные формулы для степеней меньше пятой 3 История 4 Разрешимые типы уравнений 5 См. также 6 Примечания 7 Литература 8 Ссылки Подробности Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы основано на двух следующих фактах: При степени ${\displaystyle n}$ многочлена больше или равной 5 группой Галуа многочлена является группа перестановок ${\displaystyle S_{n}}$[2]. При ${\displaystyle n\geqslant 5}$ группа перестановок ${\displaystyle S_{n}}$ не является разрешимой[3]. Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа. Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение ${\displaystyle n}$-й степени при ${\displaystyle n\geqslant 5}$ не имеет решения. Если допускать комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, определяющую все возможные решения и содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени. Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью, используя численные методы, например метод Ньютона. Кроме того, корни некоторых уравнений высших степеней можно выразить в радикалах. Например, уравнение ${\displaystyle x^{5}-5x^{4}-10x^{3}-10x^{2}-5x-1=0}$ имеет корень ${\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}+{\sqrt[{5}]{4}}+{\sqrt[{5}]{8}}+{\sqrt[{5}]{16}}}$. Хотя уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, для его корней существуют формулы с использованием тета-функций. Явные формулы для степеней меньше пятой Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать явную формулу решения. Этот факт можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и Феррари (для четвёртой)[4]. История Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 году Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем. Их доказательства основывались на идеях Лагранжа, связанных с перестановками корней уравнения. Позже эти идеи были развиты в теории Галуа, которая позволила сформулировать современное изложение доказательств и послужила отправной точкой в развитии абстрактной алгебры. Разрешимые типы уравнений Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них: Однородное уравнение Возвратное уравнение См. также Теория Галуа Корень Бринга Метод Лиля — графический метод нахождения вещественных корней многочленов произвольной степени. Резольвента алгебраического уравнения Уравнение шестой степени Примечания Алексеев, 2001, с. 112. Алексеев, 2001, с. 187. Алексеев, 2001, с. 50. Алексеев, 2001, с. 9—12. Литература Алексеев, В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях (рус.). — М.: МЦНМО, 2001. — 192 с. — ISBN 5-900916-86-3. Ссылки Weisstein, Eric W. Abel's Impossibility Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. Galois's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. David Terr & Eric W. Weisstein. Galois Group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Weisstein, Eric W. Solvable Group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.